可以说,每个ω_1结尾对应一个正则基数。而基数运算是不同的,以ω结尾可能也是正则基数,在于他不能用取极限来定义第ω项。CO(n)假设,CO(n)都是正则的(比如0,1都成立,此时F下标为0),且当b>a时,CO(b)具有比CO(a)更强的性质。
基数运算和序数运算的catching点的定义为如下:
基数运算的f_a(ω)=序数运算的f_a(ω)
则称a是基数运算和序数运算的catching点,那是,我们考虑一下,这个a需要满足什么性质:
1,a是不可数序数。
否则左边不可数,而右边可数,矛盾。
2,a如果是序数运算的catching点,则a必须也是基数运算的catching点。
3,如果a不是基数运算的catching点,则cf(a)=ω。
如果封闭性假设成立,则a必须是基数运算的catching点,且a也必须是正则基数。
一般的,序数运算版的序数众人皆知,那么基数运算版的序数又长何样。
首先,G(阿列夫零)(基数运算)可以视为这样的"Γ0",{阿列夫零,阿列夫零(1)2}可以视为基数运算的SVO,可叫做CSVO(cardinal arithmetic-small veblen ordinal),接着LVO和BHO可以类似定义,基数运算版的BHO可以用古德斯坦数列来定义,将其扩展到超限数,而这类序数的BO的话,则是a→f_a(ω)(基数运算),可起名为cardinal arithmetic-Buchholz ordinal,这都是基数运算的类似物,不过这些基数运算目前尚不知怎么定义,不过应该都是大到上天的大基数。
基数运算版的LRO可以定义成{2;0,0}(只不过这里的f_a(ω)要换成用基数运算的方式来算)
基数运算和序数运算的catching点的定义为如下:
基数运算的f_a(ω)=序数运算的f_a(ω)
则称a是基数运算和序数运算的catching点,那是,我们考虑一下,这个a需要满足什么性质:
1,a是不可数序数。
否则左边不可数,而右边可数,矛盾。
2,a如果是序数运算的catching点,则a必须也是基数运算的catching点。
3,如果a不是基数运算的catching点,则cf(a)=ω。
如果封闭性假设成立,则a必须是基数运算的catching点,且a也必须是正则基数。
一般的,序数运算版的序数众人皆知,那么基数运算版的序数又长何样。
首先,G(阿列夫零)(基数运算)可以视为这样的"Γ0",{阿列夫零,阿列夫零(1)2}可以视为基数运算的SVO,可叫做CSVO(cardinal arithmetic-small veblen ordinal),接着LVO和BHO可以类似定义,基数运算版的BHO可以用古德斯坦数列来定义,将其扩展到超限数,而这类序数的BO的话,则是a→f_a(ω)(基数运算),可起名为cardinal arithmetic-Buchholz ordinal,这都是基数运算的类似物,不过这些基数运算目前尚不知怎么定义,不过应该都是大到上天的大基数。
基数运算版的LRO可以定义成{2;0,0}(只不过这里的f_a(ω)要换成用基数运算的方式来算)