根据以上，我们就可以有这种。
基数运算下的类序数列表及其定义：
1，连续统基数
这不用说了，这是基数运算的序数最小的著名序数，是实数集的基数，可数集的幂集，不过把他在基数运算的地位按照序数运算的角度来看，其实是个无名氏，因为ω^ω不是一个著名的序数，所以在这个角度下，连续统基数不是著名的，不过连续统基数在于和ω不等势而出名，并且可能是(弱)不可达，马洛，紧致，可测基数。
2，2↑↑阿列夫零
未知大小，是个真类，并且其大小目前能超过贝斯数的堆叠，这是这个基数的最小下界。
可定义为以空集取可数次幂集，即花括号可以是无限套的，但前面套的不能比后面多。可能为强不可达，马洛，紧致，可测基数。
可以视为基数运算下的ε0。
后面的尚未知道如何定义基数运算。
3，2↑↑↑阿列夫零
可以看做是基数运算下的ζ0。
4，2↑↑↑↑阿列夫零
可以看做是基数运算下的η0。
5，G(阿列夫零)，相当于基数运算下的Γ0。
6，CASO(cardinal arithmetic-small veblen ordinal)={阿列夫零，阿列夫零(1)2}
7，CALO={阿列夫零，阿列夫零，2(1)2}SVO，LVO。
8，CBHO(基数运算版的BHO)=阿列夫零↑↑阿列夫零&&阿列夫零
9，TREE(阿列夫零)，SSCG(阿列夫零)，Rayo(阿列夫零)等等，虽然这些基数能够大的上天，可是在大数学上看，这都是由大数函数生成的无新意的东西，不过如果放在集合论上就有的研究了。
10，自然封闭基数=f_ω_1(2)，在大数学上看，这个基数才能算是走出了一步，是不能够堆叠达到的基数，无法拆分成低级运算，是所有n级封闭基数到不了的。
其实基数运算的不可数序数的FGH有更广大的花样，比序数运算的复杂多了。
11，就是我们刚才讨论的Cardinal arithmetic-Buchholz ordinal，为什么要放在不可数序数FGH后面，因为BO是增长率不动点，所以在基数运算中，地位与可数序数的BO相同的是基数运算FGH不动点，远远比自然封闭基数大。
12，至于基数运算版本的TFB，BIO，EBO，JO，根据增长率序数，所以他们和11可以并为一列，都在上楼所说的g(n)函数里面，只是自变量不同。

下面接着列举增长率不动点之后的基数运算的类序数(注，这个是基数运算，所以这些类序数都是不可数序数)及其含义。
13，cardinal arithmetic-small inaccessible ordinal={1;1，阿列夫零}(基数运算)
可视为基数运算版本的SIO。
同样的易证C(n)={1;1，n}，C(ω)=sup(C(n))这类基数在这个基数之下形成无界闭集。不过这只是刚刚在增长率不动点之上踏出了下一步而已。
其实每个{1;0，n}之间会有大量的基数和大量的堆叠层次，并且这些之内很复杂。
14，cardinal arithmetic-small mahlo ordinal{1;ω+1，ω}(基数运算)，可视为基数运算版本的SRO。
15，基数运算版本的SKO(或者说GLO)={1;ω^ω+1,ω}(基数运算)
16，基数运算版本的SSO={1;ε0，ω}，LSO因为在增长率序数上和SSO差别太小所以不列了，和基数运算版本的SSO同在增长率不动点函数的ε0级之中。
17，Catching-自然封闭基数={1;ω_1，2}，当然，因为这是基数运算的增长率序数函数，所以ω_1自然也可以放进里面，表示{1;n，}所构造不出来的函数。
18，基数运算版本的APO={1;阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零+1，ω}
为什么要+1，因为APO={1;φ(ω，0)+1，ω}，而基数运算上与φ(ω，0)地位与相同的是阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零，所以说类似APO的是这个基数。
19，基数运算版本的BGO={1;G(阿列夫零)，ω}(因为BGO={1;Γ0,ω})
20，基数运算版本的SDO(cardinal arithmetic-small dropping ordinal)={1;{1;0,0},ω}，其中在增长率不动点中增长率为cardinal arithmetic-Buchholz ordinal，因为SDO={1;BO，ω}，BO又是增长率不动点，所以基数运算上类似SDO的是这个。
LDO和SDO在增长率序数上差别比较小不列了，可以将基数运算版本的LDO视为{1;{1;0，ω}，ω}。
21，接着就是基数运算版本的LRO(cardinal arithmetic-large rathgen ordinal)={2;0,0}，将基数运算Catching点视为一列，还是用基数运算的方式去堆叠，又再次得到了增长率不动点。
那么基数运算版本的TSSO(cardinal arithmetic-trio sequence syetem ordinal)会是长什么样子，后面揭晓。

非迭代性基数CK：
如果ω_1有可数序数类似物ω_1CK，那么非迭代性基数有没有非迭代性基数CK呢？
其实这样的基数是存在的。
我们可以类比序数ω_1CK，ω_1CK是FGH封闭的也是序数递归封闭的，所以非迭代性基数CK就是指一个奇特的基数运算，这个基数运算在总结着所有的基数运算堆叠，而取这个基数运算，自变量设定为阿列夫零，即可得非迭代性基数CK。
易证非迭代性基数CK远远比真正的非迭代性基数要小。
同样的由于基数运算的特殊性质，所以非迭代性基数CK可能也是一个正则基数，性质也是很强的而不是共尾于ω，这使得非迭代性基数CK十分容易和非迭代性基数混为一谈，因为这类CK序数已经不再像ω_1和ω_1CK这样在正则性上存在明显的差别，自己也可以是正则的基数，可能FGH不能到达基数且是正则的基数，不过只是个非迭代性基数CK罢了，离非迭代性基数还有很远，非迭代性基数CK存在一个自下而上到达的基数运算，其中自变量是阿列夫零而到达，而非迭代性基数则是不存在这样的运算。

下面我们直接有：
1，第一个强不可达基数的≤f_ω_1(2)。
首先由强不可达基数的定义是对乘方封闭的正则基数。
考查f_ω_1(2)的性质，我们根据不可数序数的FGH，有f_ω_1(1)=阿列夫零，f_ω_1(2)必然是阿列夫零不能通过自然数→自然数函数得到的，考查如果这个基数共尾于阿列夫零，我们可将这些基本列取极限，由于可数个可数集之并是可数的，所以如果基数共尾于阿列夫零，则这个基数对应的FGH下标是可数序数，假设共尾度是其他，那么根据对角化的原理，我们可以用这个下标把自变量改成对应基数，于是我们就可以证明f_ω_1(n)(n除了极限序数外)每个值都是正则基数了。
因为f_ω_1(n)的增长率必然比f_3(n)大，而f_3(阿列夫零)根据其构造易得是正则基数，而f_ω_1(2)会经过所有的f_可数序数(阿列夫零)，所以联立即得第一个强不可达基数不超过基数运算的f_ω_1(2)。
下确界呢，必须比f_2(f_2(...))大。
贝斯数，则是关于基数运算的f_2的基数堆叠运算，通常很多人就用这些来定义f_3，f_4的基数运算，比如f_3(阿列夫零)=sup{f^n 2(阿列夫零)}，显然这是不恰当的，像这种我们直接叫做贝斯堆叠运算，他其本质是一种序数运算，只是将f_0换成了贝斯数。
贝斯堆叠运算和序数运算的catching点在CO(2)×ω处，而CO(2)可能是ω_1(连续统假设成立时，CO(2)下确界是ω_1)。
同样的，我定义过Λ数，是将2↑↑阿列夫n(或f_3(阿列夫n))=Λ_n，Λ_ω=sup{Λ_n}，不过这样的话，2↑↑阿列夫ω是对Λ强不可达的(承认封闭性假设)，也可以定义Λ=2↑↑阿列夫零，Λ_n=2↑↑Λ_(n-1)，那么这样2↑↑↑阿列夫零对其是强不可达的。
同样也得，从第n级基数运算开始出发，进行的堆叠运算，与序数运算catching于CO(n-1)×ω。
我们也可证明第一个2-强不可达基数不超过基数运算的f_ω_1×2(2)，第一个强马洛基数不超过f_ω_1^2(2)，第一个强紧致基数不超过f_ω_1^ω_1+ω_1(2)。

基数封闭性假设，等价于：
对于任意基数运算的f_a(n)，令g(0)=ω，g(n)=f_a-1(g(n))，g(ω)=sup{g(n)}，则g的堆叠运算和进行增长率为a-2的运算在基数运算的f_a(ω)内封闭，其中ω可改成其他基数。
上述当a=2时就是康托尔定理，也即实数集基数(ω的幂集，2^n增长率为2)≥阿列夫一，P(A)的基数大于A，但是在从ω(可换成其他基数)出发，不断的迭代乘2(增长率为1)运算或者是取并集(增长率为0)，对应的基数依然是ω。
第ω+1个FGH不可得到序数远远比第ω个大：
已经知道ω_1CK是ω下一个的FGH不可得到序数，那么第二个这样的序数可以说很大，用反射投影是不能表示的，因为容许已经可以被一个ω_1CK所表达，只要是通过容许来构造的，皆被ω_1CK的运算所表达，甚至到不了ω_2CK增长率。可能F_n就是对应于一个∑-n稳定序数。
设这类序数是F_n，则F_ω和F_ω+1之间的差距会异常大。
假设g类序数，能够表示在1～ω内的F_n，那么f_(F_n+1)(ω)便会是a→g_a不动点，因为F_ω他的第n项是F_ω[a]，会对角化F_n。
FGH不可得到序数与增长率序数+OCF。
有了FGH不可得到序数，我们就可以定义强的增长率序数+OCF了。
照对角化级别 这继续搞，熟知H(a)=f_a(ω)，而H₁是迭代Ω的，那么H₁就会合并成F_2，当然，可以用Ω_n表示，只不过这里的Ω_n不再是ω_n CK。他表示的是第n个增长率不可获取序数。
这样就有H(Ω)=BO，H(Ω+1)=ψ(I_ω)，H(Ω+ω)=ψ(I(ω，0))，H(Ω+ω+1)=ψ(M_ω)，H(Ω+Ω)=LRO，H(Ω^2)={1@3}=TSSO，H(Ω^3)={1@4}=QSSO，H(Ω^ω)={1@ω}=SHO，H(Ω^Ω)={1@(1,0)}=(ω→ω→ω^ω+1)₂
H(ψ₁(0))=(ω→ω→ε0)₂
H(H₁(Ω,0))=(ω→ω→ζ0)₂
H(H₁(Ω)^2)=(ω→ω→φ(3,0))₂
H(H₁(Ω)^H₁(Ω))=(ω→ω→Γ0)₂
H(ψ₂(0))=(ω→ω→BHO)₂
H(Ω_ω)=H(H₁(Ω,ω))=(ω→ω→BO)₂
H(ψ_I(0))=H(H₁(Ω+1))=(ω→ω→EBO)₂
H(H₁(Ω*2))=(ω→ω→ψ(I))₂
H(H₁(Ω^2))=(ω→ω→ψ(M))₂
H(H₁(H₁(Ω)))=(ω→ω→ψ(a))₂
H(F₂)=(ω→ω→TSSO)₂

f_ω1CK(ω+1)其实有真伪之分。
既然ω1CK是一个共尾于ω的序数，所以ω1CK是会有对角化的，这会对应于ω+1项。
其实fω1CK(ω1CK)=ω2CK是很勉强的，因为ω2CK只是重新的把ω1CK放进递归函数，并没有考虑到ω1CK基本列的特征。
假如a1，a2，a3，...是ω1CK的基本列，则这个a(ω+1)就是f_ω1CK(ω+1)。
当然，先看看这个基本列是怎么样的：
1，ω，ε0，ζ0，Γ0，SVO，LVO，BHO，TFB，SRO，MRO，LRO，...
其实这很难看出，还是要根据定义，前面的这些序数都可以根据有限步递归得到，一般的定义前部后部自然就可以形成，而ω_1CK需要这样的ω步，那么还是先考虑2ω步会是怎么样，一般的，函数递归都会不断的得到性质更强的序数，ω步对应容许序数，所以2ω步就是建立在容许上，在容许这个性质有限步递归所得不到的，包括这个函数内部套用容许。这才是更像样的fω1CK(2ω)，那么fω1CK(ω+1)可以是任意一个从容许性出发将这个性质有限步提升所得到的序数。
这样ω1CK+1增长率就会得到大魔改。