如上图一般情况，球极点为T1的投影平面α上原像蓝圆O1，绿圆O2，任取一反演中心P1投影到球面上蓝、绿两圆和T2，O1'、O2'分别为与球面相切于蓝、绿两圆的圆锥面的锥顶点，以T2为新球极点，再次投影球面上的像到平面γ，则得到圆心为O1''和O2''的蓝绿两圆和反演中心P2，则平面γ上的像就是平面α的反像

如上图反演中心在圆上，当平面α反演中心P1位于绿圆O2上时，球面上T2位于球面绿圆上，则以球极点T2投影球面像到平面γ，绿圆被投影为一条直线，不过反演中心P1的蓝圆O1仍为圆O1''

如上图不过反演中心的直线情况，当平面α原蓝圆O1为一条蓝色直线但不经过反演中心P1，则球面上蓝圆过球极点T1，再则以球极点T2投影球面像到平面γ，蓝圆被投影为过反演中心P2的蓝圆O1''，不过反演中心P1的绿圆O2仍为圆O2''

如上图过反演中心的直线情况，当平面α原蓝圆O1为一条蓝色直线且过反演中心P1，则球面上蓝圆同时经过球极点T1和球极点T2，则以球极点T2投影球面像到平面γ，球面蓝圆被投影为过反演中心P2的蓝色直线

如上图，球极点T1投影平面α上原像蓝绿两圆于球面圆，各自切圆锥面顶点O1'、O2'连线交球面于M、N，T1M、T1N交平面α于M'、N'，M'、N'即蓝绿两圆根轴上，半径为两圆切线段长的圆与连心线的两个交点（蓝绿两圆共轴圆极限点），若以此两点作为反演中心对蓝绿两圆进行反演，会将原两圆反演为同心圆

如图，当以M'为反演中心，则球极点T1投影到球面上，M'投影为球面上M且在O1''O2''连线上，则以球极点T2投影到平面γ上得到同心蓝绿圆，N为反演中心同理，同时也证明了原像两圆如果存在交点或切点是没法投影为同心圆（废话），从球面来看，两圆如果能投影为同心圆，则球面切圆锥顶点连线必与球面有至少一个交点，因为球面上一点的切平面只有一个，两圆锥母线如果都切这同一个点，则必在同一个平面上，即锥顶连线与球面切于该点，要么相离没有交点，要么存在两个交点，这两个交点投影到平面α即两圆的共轴圆极限点

如上图，N为反演中心同理

以下为球极投影与反演变换关系证明

如上图，平面α上反演中心P1及蓝圆O1上任取两点A、B，以T1为球极点投影到球面上T2、A'、B'，再以T2为新球极点，投影到对应γ投影面上P2、A''、B''，根据球极投影保角性知△P1AB各个角对应到球面圆交点切线夹角不变，再投影到平面γ上仍然对应角度相等，故△P1AB∽△P2B''A''，所以P1A*P2A''=P1B*P2B''，满足反演变换基本概念

参考书needham《可视化复分析》 雅阁龙《几何变换》第四册