1.大基数
不可达基数是集合论中的一个概念，指的是一个基数Κ满足以下条件：
• 对于所有λ＜Κ，2的λ次方＜Κ
• Κ是正则的，即Κ不是任何较小基数的极限。
这个概念在描述集合的大小和结构时非常重要，特别是在考虑无限集合的层次时。
可测基数：可测基数是另一种大基数，它定义为存在一个非平凡的、Κ-完全的非原子测度的基数Κ。这意味着对于任何集合Α，如果Α的基数小于Κ，则存在一个测度μ使得μ(Α)＝0。
2.V=L（宇宙Ⅴ、终极L>Ⅴ=L）
V=LV=L 是一个公理，它表明每一个集合都是可构造的。在这个框架下，V代表所有集合的宇宙，而L代表可构造集合的累积层次。这个公理在集合论中非常重要，因为它提供了一个关于集合存在性的严格标准。
3.脱殊复宇宙/集合论多宇宙（Transitive Universes/Multiverse of Set Theory）
脱殊复宇宙脱殊复宇宙是通过将可定义的偏序集(Ρ，≤)和滤子G强制化（forcing）得到的，表示为V[lbk]G[rbk]这个概念在集合论的多宇宙理论中非常重要，因为它允许我们考虑不同的集合论模型和宇宙。
4.复复宇宙（Multi-Multiverse）
复复宇宙是一个更复杂的结构，它包含了所有可能的宇宙，包括那些通过不同的强制化方法得到的宇宙。这个概念在探讨集合论的多样性和可能性时非常有用。
5.哥德尔公式（Gödel's Incompleteness Theorems）
哥德尔不完备定理是数学逻辑中的一个重大发现，它表明在任何包含基本算术的一致形式系统内，都存在这样的命题：这个命题既不能被证明为真，也不能被证明为假。哥德尔通过将数学语句映射到唯一的数字（哥德尔数）来实现这一点，从而将元数学语句转化为系统内的形式语句。
6.量子态（Quantum States）
量子态的向量表示量子态包含了量子系统的统计信息，在数学上表达为一个复向量，用狄拉克符号来表示。例如，一个量子态可以表示为：
N-1
∥ψ〉＝Σαi∥i〉
i＝0
其中，N为向量维度，∥i〉可以理解为长度为N的在第i个位置为1的one-hot向量，α_i就是测量结果为i的概率幅。
密度矩阵的纯态和混态量子态除了用向量表示以外，还可以用密度矩阵ρ来表示，即密度矩阵是左右矢的外积表示。纯态和混态的区别在于：
• 纯态：ρ＝∥ψ〉〈ψ∥
• 混态：ρ_mix＝ΣΡi∥ψi〉〈ψi∥
i
玄宇宙V逻辑宇宙
V-logic Multiverse（V逻辑多重宇宙）是一个在集合论基础上提出的新概念，它扩展了在超无量纲程序中进行的数学工作，并利用了集合广义多重宇宙的特征，特别是Steel提出的对它的公理化。
V-logic的定义和特点
V-logic是一种无限逻辑（一种允许公式和无限长度证明的逻辑），其语言Lκ+,ω除了在一阶逻辑中已经使用的符号外，还包括κ多个常数a，每个集合a∈V都有一个对应的常数，以及一个特殊常数符号V，表示V本身。
在V-logic中，可以确保某个模型M满足ZFC+ψ（对于某些集合论陈述ψ）的一致性陈述，当且仅当M是V的外模型。这里的“外模型”指的是通过集合强制、类强制、超类强制等模型理论技术获得的宽度扩展的V模型。
V-logic Multiverse的概念
V-logic Multiverse是所有这样的V的外模型的集合。通过选择合适的一致性陈述，我们可以生成具有特定特征的外模型M。V-logic Multiverse正是这些外模型的集合。
V-logic Multiverse的优点
• 与集合论多重宇宙相比，V-logic Multiverse足够广泛，可以包括所有类型的外模型。
• 与超宇宙概念相比，V-logic Multiverse不仅限于可数传递模型的集合，因为V不需要被认为是可数的。
V-logic的应用
V-logic可以用于追求两个基本研究方向，这两个方向都旨在发展多宇宙的公理理论。一是通过定义V-logic Multiverse的不同扩展来实现，另一个是通过使用V-logic来制定理论的一致性，并在V+中定义满足宽度潜在主义的模型。
不可达基数是集合论中的一个概念，指的是一个基数Κ满足以下条件：
• 对于所有λ＜Κ，2的λ次方＜Κ
• Κ是正则的，即Κ不是任何较小基数的极限。
这个概念在描述集合的大小和结构时非常重要，特别是在考虑无限集合的层次时。
可测基数：可测基数是另一种大基数，它定义为存在一个非平凡的、Κ-完全的非原子测度的基数Κ。这意味着对于任何集合Α，如果Α的基数小于Κ，则存在一个测度μ使得μ(Α)＝0。
2.V=L（宇宙Ⅴ、终极L>Ⅴ=L）
V=LV=L 是一个公理，它表明每一个集合都是可构造的。在这个框架下，V代表所有集合的宇宙，而L代表可构造集合的累积层次。这个公理在集合论中非常重要，因为它提供了一个关于集合存在性的严格标准。
3.脱殊复宇宙/集合论多宇宙（Transitive Universes/Multiverse of Set Theory）
脱殊复宇宙脱殊复宇宙是通过将可定义的偏序集(Ρ，≤)和滤子G强制化（forcing）得到的，表示为V[lbk]G[rbk]这个概念在集合论的多宇宙理论中非常重要，因为它允许我们考虑不同的集合论模型和宇宙。
4.复复宇宙（Multi-Multiverse）
复复宇宙是一个更复杂的结构，它包含了所有可能的宇宙，包括那些通过不同的强制化方法得到的宇宙。这个概念在探讨集合论的多样性和可能性时非常有用。
5.哥德尔公式（Gödel's Incompleteness Theorems）
哥德尔不完备定理是数学逻辑中的一个重大发现，它表明在任何包含基本算术的一致形式系统内，都存在这样的命题：这个命题既不能被证明为真，也不能被证明为假。哥德尔通过将数学语句映射到唯一的数字（哥德尔数）来实现这一点，从而将元数学语句转化为系统内的形式语句。
6.量子态（Quantum States）
量子态的向量表示量子态包含了量子系统的统计信息，在数学上表达为一个复向量，用狄拉克符号来表示。例如，一个量子态可以表示为：
N-1
∥ψ〉＝Σαi∥i〉
i＝0
其中，N为向量维度，∥i〉可以理解为长度为N的在第i个位置为1的one-hot向量，α_i就是测量结果为i的概率幅。
密度矩阵的纯态和混态量子态除了用向量表示以外，还可以用密度矩阵ρ来表示，即密度矩阵是左右矢的外积表示。纯态和混态的区别在于：
• 纯态：ρ＝∥ψ〉〈ψ∥
• 混态：ρ_mix＝ΣΡi∥ψi〉〈ψi∥
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玄宇宙V逻辑宇宙
V-logic Multiverse（V逻辑多重宇宙）是一个在集合论基础上提出的新概念，它扩展了在超无量纲程序中进行的数学工作，并利用了集合广义多重宇宙的特征，特别是Steel提出的对它的公理化。
V-logic的定义和特点
V-logic是一种无限逻辑（一种允许公式和无限长度证明的逻辑），其语言Lκ+,ω除了在一阶逻辑中已经使用的符号外，还包括κ多个常数a，每个集合a∈V都有一个对应的常数，以及一个特殊常数符号V，表示V本身。
在V-logic中，可以确保某个模型M满足ZFC+ψ（对于某些集合论陈述ψ）的一致性陈述，当且仅当M是V的外模型。这里的“外模型”指的是通过集合强制、类强制、超类强制等模型理论技术获得的宽度扩展的V模型。
V-logic Multiverse的概念
V-logic Multiverse是所有这样的V的外模型的集合。通过选择合适的一致性陈述，我们可以生成具有特定特征的外模型M。V-logic Multiverse正是这些外模型的集合。
V-logic Multiverse的优点
• 与集合论多重宇宙相比，V-logic Multiverse足够广泛，可以包括所有类型的外模型。
• 与超宇宙概念相比，V-logic Multiverse不仅限于可数传递模型的集合，因为V不需要被认为是可数的。
V-logic的应用
V-logic可以用于追求两个基本研究方向，这两个方向都旨在发展多宇宙的公理理论。一是通过定义V-logic Multiverse的不同扩展来实现，另一个是通过使用V-logic来制定理论的一致性，并在V+中定义满足宽度潜在主义的模型。
