终极天庭配图

数学盒子（一）
基础定义：ω是第一个无限序数，它表示自然数集{0, 1, 2, 3, ...}的“大小”或“顺序类型”。在序数理论中，ω被用来描述一个无穷大的序列，其中每个元素都有一个后继元素，但没有最大元素。因此，简单来说，ω就是无穷大的自然数序列的序数表示。
我们通常以ω代指一个无限大的宇宙。
ω（无限序数）＝ℵ0（阿列夫数）＝∞（无穷大）＝N（自然数集），即单体宇宙 = 一层盒子＝一层指数塔
ω+ω = 2ω
ω+ω+ω = 3ω
ω+ω+ω+ω = 4ω
ω+ω+ω+ω+ω = 5ω
ω+ω+ω+ω+ω+ω = 6ω
…………（省略）
ω*ω=ω^2=ω↑2（↑为高德纳箭头），多元宇宙＝二层盒子
ω*ω*ω=ω^3=ω↑3，无限多元＝三层盒子
ω*ω*ω*ω=ω^4=ω↑4，四层盒子
ω^5=ω↑5，五层盒子
ω^6=ω↑6，六层盒子
…………（省略）
ω^ω=ω↑ω，无限盒子＝二层指数塔
（ω^ω）^2＝ω^（ω*2）=ω↑（ω*2）＝ω^ω*ω^ω，无限层无限盒子
（ω^ω）^3 = ω^（ω*3）=ω↑（ω*3）= ω^ω*ω^ω*ω^ω
（ω^ω）^4 = ω^（ω*4） =ω↑（ω*4）= ω^ω*ω^ω*ω^ω*ω^ω
（ω^ω）^5 = ω^（ω*5） =ω↑（ω*5）= ω^ω*ω^ω*ω^ω*ω^ω*ω^ω
（ω^ω）^6 = ω^（ω*6） =ω↑（ω*6）= ω^ω*ω^ω*ω^ω*ω^ω*ω^ω*ω^ω
…………（省略）
（ω^ω）^ω = ω^ω*ω = ω^ω^2=ω↑ω↑2
（（ω^ω）^ω）^ω=（ω^ω）^ω*ω = （ω^ω）^ω^2 = ω^（ω*ω^2）= ω^ω^3=ω↑ω↑3
（（（ω^ω）^ω）^ω）^ω =（（ω^ω）^ω）^ω*ω = （（ω^ω）^ω）^ω^2 = （ω^ω）^（ω*ω^2）=（ ω^ω）^ω^3 = ω^（ω*ω^3） = ω^ω^4=ω↑ω↑4
以此类推
ω^ω^5=ω↑ω↑5
ω^ω^6=ω↑ω↑6
ω^ω^7=ω↑ω↑7
…………（省略）
ω^ω^ω=ω↑ω↑ω，无限次方无限盒子＝三层指数塔
按照规律，即可得出
ω^ω^ω^ω=ω↑ω↑ω↑ω，四层指数塔
ω^ω^ω^ω^ω=ω↑ω↑ω↑ω↑ω，五层指数塔
ω^ω^ω^ω^ω^ω=ω↑ω↑ω↑ω↑ω↑ω，六层指数塔
…………
…………
…………
ω^ω^ω^……（省略ω次）……^ω=ω↑ω↑ω↑……（省略ω次）……↑ω=ω↑↑ω，无限层指数塔，即完整的指数塔
ω↑↑↑ω=ω↑↑ω↑↑ω↑↑……（省略ω次）……↑↑ω={ω↑ω↑ω↑ω↑......ω}^(ω^(ω^ω))={ω↑ω↑ω↑ω↑......ω}共ω^(ω^ω)个ω↑ω
={ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(......^ω))))).......)}共ω^(ω^ω)层={ω^(ω^(ω^(ω^(ω^(......^ω))))).......)}^ω(^(ω^ω))，无限阶无限层指数塔
ω↑↑↑↑ω={ω↑↑↑ω↑↑↑ω↑↑↑ω↑↑↑ω......ω↑↑↑ω↑↑↑ω}共ω个ω={ω↑↑ω↑↑ω↑↑ω↑↑......ω}个ω，共{ω↑↑ω↑↑ω↑↑ω↑↑......ω}个ω，共{ω↑↑ω↑↑ω↑↑ω↑↑......ω}个ω，...，共{ω↑↑ω↑↑ω↑↑ω↑↑......ω}个ω，共ω个ω，大括号一共出现ω-1次，无限次方无限阶无限层指数
ω↑↑↑↑↑ω=ω→ω→5（→为康威链式箭号）
ω↑↑↑↑↑↑ω=ω→ω→6
ω↑↑↑↑↑↑↑ω=ω→ω→7
…………（省略）
ω↑↑↑……（省略ω个↑）……↑↑ω=ω→ω→ω，超指数塔
我们当然可以按照规律继续下去，没有尽头
ω→ω→ω→ω
ω→ω→ω→ω→ω
ω→ω→ω→ω→ω→ω
ω→ω→ω→ω→ω→ω→ω………
……
……
……

ℵ0

数学盒子（二）
康托尔的对角线论证是数学史上一个极为重要的证明方法，它巧妙地揭示了无穷集合的某些深刻性质。
假设区间[0,1]中的点数是可数无穷大的，即可以排成一个无穷数列(r1, r2, r3, ...)。
每一个这样的数字都能以小数形式表达，例如0.5, 0.4132043...等。
考虑这个数列中小数点后的每一位数字。
构造一个新的实数x，其小数点后的第k位数字与数列中第k个数的第k位数字不同。如果rk的第k个小数位等于5，那么x的第k个小数位是4；如果rk的第k个小数位不等于5，那么x的第k个小数位是5。
由于x是根据数列(r1, r2, r3, ...)构造出来的，且x的每一位数字都与数列中对应数的对应位数字不同，因此x不可能等于数列中的任何一个数。
这与我们的假设“数列(r1, r2, r3, ...)包括了所有区间[0, 1]内的实数”相矛盾。
因此，我们的假设“区间[0,1]中的点数是可数无穷大的”是不成立的。
这意味着实数集合是不可数集。
阿列夫零（ℵ0）：阿列夫零是表示可数无穷大的序数，如自然数集，它是所有可数序数中的最大者。
阿列夫一（ℵ1）：阿列夫一是比所有可数序数（包括阿列夫零）都大的最小序数，如实数集，它代表了可数无穷大集合的“势”的下一个级别。
定义函数P，使得P（ℵ0）=2^ℵ0 = ℵ1
幂集运算，是集合论中的一个基本概念，指的是由原集合中所有的子集（包括全集和空集）构成的集族。换句话说，给定一个集合A，A的幂集就是由A的所有子集组成的集合。
一个具体的例子：
设集合A={a, b}，那么A的幂集P(A)就是由A的所有子集构成的集合，即：
P(A)={∅, {a}, {b}, {a, b}}
在这个例子中，∅表示空集，{a}和{b}分别表示只包含一个元素a和b的集合，而{a, b}则是集合A本身。
幂集运算具有以下几个重要性质：
幂集的势：对于一个有限集X，如果|X|=k（即X中有k个元素），那么X的幂集P(X)的势（即P(X)中元素的个数）为2的k次方。这是因为每个元素在子集中都有两种可能的状态：要么在子集中（用1表示），要么不在子集中（用0表示）。因此，对于k个元素来说，就有2^k种不同的子集组合方式。
幂集的幂集：如果一个集合的幂集仍然是该集合的一个子集（在某种更广泛的集合论意义下），那么我们可以继续对这个幂集进行幂集运算，得到更高层次的幂集。这个过程可以无限进行下去，形成幂集的层次结构。
不可数集的幂集：对于可数集来说，其幂集与实数集具有相同的势（即不可数）。然而，对于不可数集来说，其幂集的势通常比原集合的势要大得多。例如，实数集的幂集就是比实数集更大的一个不可数集。
以此，迭代。
P（P（ℵ0））=P（ℵ1）=ℵ2
P（P（P（ℵ0）））=P（P（ℵ1））=P（ℵ2）=ℵ3
P（P（P（P（ℵ0））））=P（P（P（ℵ1）））=P（P（ℵ2））=P（ℵ3）=ℵ4
P（P（P（P（P（ℵ0）））））=P（P（P（P（ℵ1））））=P（P（P（ℵ2）））=P（P（ℵ3））=P（ℵ4）=ℵ5
……（省略）
P（ℵℵ0）=ℵ（1+ℵ0）
P（ℵ（1+ℵ0））=ℵ（2+ℵ0）
P（ℵ（2+ℵ0））=ℵ（3+ℵ0）
P（ℵ（3+ℵ0））=ℵ（4+ℵ0）
……
可以看出P函数的增长率已经无法满足我们的需求了
定义函数Q，使得Q（ℵ0）=ℵℵ0
Q（ℵℵ0）=ℵℵℵ0
Q（ℵℵℵ0）=ℵℵℵℵ0
Q（ℵℵℵℵ0）=ℵℵℵℵℵ0
……
Q（ℵℵℵℵ……（共有ω-1个ℵ）……ℵℵℵℵ0）=ℵℵℵℵ……（共有ω个ℵ）……ℵℵℵℵ0=第一个阿列夫不动点，记为α（1）
阿列夫不动点堆叠：α（1），α（2），α（3），α（4），α（5），α（6），……（省略）……，α（∞）=α（ℵ0），…α（ℵ1），…α（ℵ2），…α（ℵ3），…α（ℵ4），…α（ℵ5），…α（ℵ6），……（省略）……，…α（α（1）），…α（α（1）），…α（α（2）），…α（α（3）），…………（其中省略超多超多超多无限个过程，多到用目前堆叠出来最大的大数也无法表示）…………α（α（α（α（α（α（α（α……（α（α（α（1））））……）））））））…………………

数学盒子（二续）
以上，太过复杂，各种符号繁多到用省略号也无法完全表示。
或许我们可以令第一个阿列夫不动点为α（1，0），括号左边为阿列夫不动点的个数，当其为α函数并以迭代形式向上增加时，表示为单个α函数与右括号递增次数，括号右边为当左括号内数字出现α函数时，函数出现的次数，以此便得到：
α（1）=α（1，0）
α（2）=α（2，0）
……
α（α（1））=α（α（1），1）
α（α（2））=α（α（2），1）
……
α（α（α（1）））=α（α（1），2）
α（α（α（2）））=α（α（2），2）
……
α（α（α（α（1））））=α（α（1），3）
α（α（α（α（2））））=α（α（2），3）
……
α（α（α（α（α（1）））））=α（α（1），4）
α（α（α（α（α（α（1））））））=α（α（1），5）
…………（超级省略）
我们终究会遇到类似α（α（1），α（α（α（α（α（α（α（α……（α（α（α（1））））……）））））））…………………）之类的问题，而此时我们所定义的方式还撑得住，继续堆叠下去，我们还能得到更大的数。
α（α（1），α（1），1），α（α（1），α（1），α（1），1），α（α（1），α（1），α（1），α（1），1），α（α（1），α（1），α（1），α（1），α（1），1），α（α（1），α（1），α（1），α（1），α（1），α（1），1）…………，α（α（1），α（1），……（省略α（1）个α（1））……，α（1），1）
这时，我们终于到达了α函数的极限，再继续迭代下去已经显得毫无意义了。
我们当然可以定义函数β，使得β内数字为α函数中α函数出现的次数，即β（1）=α（α（1）），β（2）=α（α（1），α（1）），……，β（α（1））=α（α（1），α（1），……（省略α（1）个α（1））……，α（1），α（1））
β（α（1），α（1））
β（α（1），α（1），α（1））
β（α（1），α（1），α（1），α（1））
……
β（β（1））
β（β（1），β（1））
β（β（1），β（1），β（1））
……
然后按照刚刚的方法继续套公式，获得无法想象的大数。

数学盒子（三）
不可达基数：κ是不可数的，即κ > ω（ω表示自然数集的基数）。对于任何小于κ的基数λ，都有2^λ < κ。这意味着κ不能通过取幂的方式从更小的基数“达到”。换句话说，不存在一个基数序列λ₁ < λ₂ < ... < λₙ = κ，使得每个λᵢ₊₁都是λᵢ的幂集基数（即2^λᵢ）。不可达基数在构建模型时提供了一种“不可达”的界限，使得在更小基数上的集合运算无法“触及”到它们。
马洛基数：κ是不可达基数。对于任何小于κ的基数λ，都存在一个κ的子集S，使得S的基数也是κ，并且S对于任何小于λ的基数都是“不可划分的”。这里的“不可划分”意味着S不能被划分为更小基数的集合的并集。换句话说，不存在一个由小于λ的基数的集合构成的序列，其并集等于S。
弱紧致基数：对于任何小于κ的基数λ和任何λ上的结构（如图、群、环等），都存在一个基数为κ的模型M，使得该结构可以被嵌入到M中。这里的“嵌入”意味着存在一个从原结构到M的映射，该映射保持结构的所有关系。弱紧致基数具有一种“紧致性”性质，即它们能够“容纳”所有小于它们的基数上的结构。
不可描述基数：对于任何小于κ的基数λ和任何λ上的结构（如图、群、环等），以及该结构上的任何性质P（该性质可以用小于λ的基数来描述），都存在一个基数为κ的模型M，使得M中的某个元素具有性质P，并且这个元素在M中是“不可描述的”。这里的“不可描述”意味着，不存在一个小于κ的基数α和M上的一个α-可定义的性质Q，使得M中恰好有一个元素具有性质Q，并且这个元素就是具有性质P的那个元素。
强可展开基数：对于任何小于κ的基数λ和任何λ上的结构（如图、群、环等），都存在一个基数为κ的模型M和一个从M到某个小于κ的基数的映射f，使得f是“展开的”。这里的“展开”意味着，对于M中的任何元素x和任何小于λ的基数α，都存在一个M中的元素y，使得y在M中的α-邻域与x在f下的像在α-邻域相同。
拉姆齐基数：对于任何小于κ的基数λ和任何正整数n，都存在一个基数为κ的集合S和一个从S的n-元子集到小于λ的基数的映射f，使得对于S的任何两个n-元子集A和B，如果A和B在f下的像相同，那么A和B在S中就是“不可区分的”。这里的“不可区分”意味着，不存在一个小于κ的基数α和S上的一个α-可定义的性质P，使得A具有性质P而B不具有。
强拉姆齐基数：如果对于任何小于κ的基数λ和任何正整数n，以及任何小于κ的基数上的颜色集合，都存在一个基数为κ的集合S，使得S的任何n-元子集的任何小于λ的基数的划分都不能被该颜色集合完全染色。
可测基数：可测基数是一种具有特殊“测量”性质的大基数。一个基数κ被称为可测的，如果存在一个非平凡的、κ-完全的、超滤子（ultrafilter）在κ上。这意味着我们可以以一种一致的方式“测量”κ的子集，类似于在实数集上使用勒贝格测度。
强基数：如果对于任何小于κ的基数λ和任何λ上的结构（如图、群、环等），都存在一个基数为κ的模型M和一个从M到某个小于κ的基数的映射f，使得f是“强嵌入”的。这里的“强嵌入”意味着映射f不仅保持了结构的关系，还保持了结构的“内部性质”
伍丁基数：对于任何小于κ的基数λ，以及任何λ上的结构（如图、群、环等），都存在一个基数为κ的模型M，使得M中的元素可以通过某种方式“迭代”生成，并且这种迭代方式具有确定性。这种确定性意味着，对于M中的任何元素x，都存在一个小于κ的基数α和一个α上的公式φ，使得x是M中唯一满足φ的元素。
超强基数：对于任何小于κ的基数λ和任何λ上的结构（如图、群、环等），都存在一个基数为κ的模型M和一个从M到某个小于κ的基数的映射f，使得f是“超强嵌入”的。“超强嵌入”意味着映射f不仅保持了结构的关系，还保持了结构的所有内部性质，包括任何高阶性质（如迭代性质、紧致性质等）。
强紧致基数：对于任何小于κ的基数λ和任何λ上的结构（如图、群、环等），都存在一个基数为κ的模型M，使得该结构可以被嵌入到M中，并且保持更多的内部结构性质。这种更强的紧致性质意味着，不仅结构的关系被保持，而且结构的任何内部性质（包括任何高阶性质）也被保持。
超紧致基数：对于任何小于κ的基数λ，以及任何λ上的结构（如图、群、环等），都存在一个基数为κ的模型M，以及一个从M到某个小于κ的基数的映射f，使得f是“超紧致嵌入”的。
“超紧致嵌入”意味着映射f不仅保持了结构的关系和内部性质，还保持了结构在任意高阶逻辑中的性质。

数学盒子（三续）
可扩基数：对于任何小于κ的基数λ和任何正整数n，都存在一个基数为κ的模型M，以及一个从M的n-元子集到小于λ的基数的映射f，使得f是“可扩展的”。“可扩展”意味着，对于M的任何n-元子集A，我们都可以找到一个包含A的更大模型N，以及一个从N到小于κ的基数的映射g，使得g在A上的限制与f一致，并且g也是“可扩展的”。
殆巨大基数：存在一个基数为κ的模型M，以及一个从M到某个小于κ的基数的映射f，使得f是“殆巨大嵌入”的。“殆巨大嵌入”意味着映射f几乎保持了M中所有元素的性质，除了可能的一个或少数几个例外。换句话说，殆巨大基数允许我们将一个几乎与巨大基数一样复杂的结构嵌入到一个相对较小的模型中。
巨大基数：存在一个从某个Vκ+2（或更高级别）的初等嵌入j到某个内模型M的嵌入，使得这个嵌入的临界点是κ，并且M见证了κ的某种非常强的性质。具体来说，这种性质通常涉及到嵌入对κ的幂集的“控制”能力，即M能够“看到”κ的幂集中足够多的元素，以至于它几乎可以“模拟”整个Vκ+2（或更高）的结构。
超巨大基数：一个基数κ被称为超巨大基数，如果它满足比巨大基数更强的嵌入性质。具体来说，超巨大基数通常要求存在从更高级别的结构（如Vκ+3或更高）到某个内模型的初等嵌入，并且这个嵌入同样需要满足对κ的幂集的“控制”能力。
n-巨大基数：对于每个自然数n，都存在一个对应的n-巨大基数。一个基数κ被称为n-巨大基数，如果它满足比(n-1)-巨大基数更强的嵌入性质。具体来说，n-巨大基数通常要求存在从Vκ+n（或更高级别）的初等嵌入到某个内模型M的嵌入，并且这个嵌入同样需要满足对κ的幂集的“控制”能力。随着n的增加，n-巨大基数的强度也逐渐增强。
伊卡洛斯基数：存在一个L(V_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其临界点低于λ，伊卡洛斯存在于V_λ+2-L(V_λ+1)。称X是伊卡洛斯集，当且仅当Vλ+2是X与Y的不交并，以至于任意y∈Y，j:(Vλ+1,X∪{y})→(Vλ+1,X∪{y})都可应用库能的证明。所以j:(Vλ+1,X)→(Vλ+1,X)就是j:Vλ+2→Vλ+2之下与选择公理兼容的一致性最强的嵌入形式。令X⊂Vλ+1为Icarus那么 Y∈L(X,Vλ+1)∩Vλ+2使得ΘL(X,Vλ+1)<ΘL(Y,Vλ+1) . 那么 L(Y,Vλ+1)♯存在以及 L(Y,Vλ+1)♯∈L(X,Vλ+1) .
0=1莱茵哈特基数：非平凡基本嵌入的临界点，j : V→V的V进入自身。这个定义明确地引用了适当的类j.在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x,a)}对于某些集合a和公式Φ.但是在 Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j ：V→V.构造为x＞0 当x≥1，f(x)=(x+1)lnx-x+1, f’(x)=(x+1)*1/x+lnx-1=1/x+1nx，因为x≥1，则lnx≥0，1/x＞0，所以f’(x)＞0, 所以f(x)在[1，+oo）上递增， 则f(x) ≥f(1)=0-1+1=0，又（x-1）≥0 所以(x-1)f(x)≥0.当1＞x＞0，f(x)=(x+1)lnx-x+1， f’(x)=(x+1)*1x+lnx-1=1/x
伯克利基数：伯克利基数的存在会否定V＝终极L，且含有伯克利基数的V会比终极L“大非常多”，伯利克基数是ZF集合论模型中的基数κ，对于任意的传递集 M 定义 S(M) 为包含所有非平凡初等嵌入 j:M→M 的族
limit club (极限无界闭)伯克利 :同时是无界闭伯里克基数和伯里克基数的极限，强行弥合两种无法确定一致性关系的基的鸿沟，称κ为club-伯克利，如果κ是正则的，并且对于所有club→C⊆κ和所有带κ的传递集M∈M；有j∈ε(M)和crit (j)∈C，称κ为limit club伯克利，它是一个club伯克利基数/limit伯克利基数，如果K为最小的伯克利，则y<k。

数学盒子（三续（2））
Lisa cardinal：称 κ 是 0-Lisa cardinal 当且仅当 κ 是 club Berkeley cardinal，称 κ 是 α+1-Lisa cardinal 当且仅当 κ 是 α -Lisa cardinal 并且对于一切传递集 M ，以及对于任意无界闭集 C⊆κ ， κ∈M 均蕴含存在 j:M→M 且有 α -Lisa cardinal crit(j)∈C 。特别地，若 A 包含了所有这些 crit(j) ，则称 A 为 κ 的 Lisa 见证集。若 α 是极限序数，称 κ 是 α-Lisa cardinal 当且仅当对任意 β<α ，κ 都是 β -Lisa cardinal。称 κ 是 Lisa cardinal，当且仅当对任意 α<κ，κ 都是 α -Lisa cardinal，并且存在 U⊂P(κ) 使得使得
1. ∅∉U
2. Z={α−Lisa基数:α<κ}∈U
3. S∈U→H(S)={α∈S:α∩S是α的Lisa见证集}∈U
4.对任意γ<κ，{Sα:α∈γ}⊂U→⋂α<γSα∈U
5.{Sα:α<κ}⊆U→{α＜κ:α∈⋂β<αSβ}∈U

我的四大自创角色天花板在写好后，就没有再写了，因为不知道该怎么写了，于是直接安排他们到自己写的各个作品里客串

数学盒子（四）
复宇宙：
设M为一个非空类，其元素为ZFC模型的集合。我们称M为一个复宇宙，若它满足以下五条公理：
可数化公理：对于M中的任意ZFC模型V，存在一个可数模型V'，使得在某种意义下V'与V是“等价的”（即它们满足相同的句子集，或者存在某种保真嵌入）
伪良基公理：对于M中的任意ZFC模型V，存在另一个模型W∈M，使得在W的视角下，V的某些部分（可能是其元素、子集或更复杂的结构）呈现出非良基性（即不存在一个最小的元素或子集）。然而，这并不意味着V本身是非良基的，因为良基性通常是在模型内部定义的，而这里我们考虑的是从外部模型W的视角看V
可实现公理：对于M中的任意ZFC模型V和V中可定义的任何集合或结构A，存在一个模型W∈M，使得在W中A是“可实现”的，即存在W中的一个对象与A在某种意义下对应。
力迫扩张公理：对于M中的任意ZFC模型V和任意V-可定义的力迫概念P，存在一个力迫扩张V[G]，其中G是P上的一个V-泛型滤子。这意味着通过力迫方法，我们可以在不改变原有模型太多性质的前提下，扩张模型以包含新的集合或满足新的性质。
嵌入回溯公理：对于M中的任意两个ZFC模型V和W，如果存在一个从V到W的嵌入（即一个保结构映射），那么存在一个更高的模型U∈M，使得在U的视角下，V和W都是可嵌入的，并且这种嵌入关系在某种意义上是“回溯”的，即它保留了模型之间的某些相对性质。
对于任意集合论宇宙V，若W是集合论的另一个模型且在V中是可诠释或可定义的，则W也可被视为一个集合论宇宙。对于任意集合论宇宙V和其中的任意力迫P，存在一个力迫扩张V[G]，其中G是P上的一个V-泛型滤子。
对于每个集合论宇宙V，都存在一个更高的宇宙W和一个序数α，使得V ≤ W_α < W。这里“≤”表示某种模型之间的比较关系，可能是包含关系、嵌入关系或其他。从更高的集合论宇宙W的角度看，每个集合论宇宙V都是ill-founded的（即非良基的）。这意味着在W的视角下，V的某些部分不满足良基性条件。
存在一个集合论宇宙V，使得对于任意集合论宇宙M，都存在一个更高的宇宙W和W中的一个ZFC模型w，使得在W的视角下，M是一个可数的非良基ZFC模型。在这种情况下，V被称为复宇宙。
脱殊复宇宙：
设 (M) 是一个 ZFC（Zermelo-Fraenkel 集合论加上选择公理）的可数传递模型。我们定义由 (M) 生成的脱殊复宇宙 (\mathcal{V}_M) 为满足以下条件的最小模型类：
基模型包含性：(M \in \mathcal{V}_M)。
脱殊扩张的封闭性：若 (N \in \mathcal{V}_M) 且存在脱殊扩张 (N' = N[G])（其中 (G) 是某个适当的泛型对象或滤子），则 (N' \in \mathcal{V}_M)。即[\forall N \in\mathcal{V}_M, \forall G \text{ (适当的泛型对象或滤子)}, N[G] \in \mathcal{V}_M\text{ 若 } N[G] \text{ 是 } N \text{ 的脱殊扩张}]
脱殊收缩的封闭性：若 (N \in \mathcal{V}_M) 且存在模型 (N') 使得 (N = N'[G]) 是 (N') 的脱殊扩张，则 (N' \in \mathcal{V}_M)。即[\forall N \in \mathcal{V}_M, \exists N'\in \mathcal{V}_M, \exists G \text{ (适当的泛型对象或滤子)}, N = N'[G] \text{ 且 } N'[G]\text{ 是 } N' \text{ 的脱殊扩张}]
注意：这里的存在量词 (\exists) 是为了强调对于每个 (N \in \mathcal{V}_M)，都存在一个 (N') 满足条件。实际上，由于我们要求 (\mathcal{V}_M) 是最小的满足这些条件的模型类，因此这个存在性是由 (\mathcal{V}_M) 的定义隐含给出的。

数学盒子（四续）
复复宇宙以上：
复宇宙的存在性：[\exists \text{M} (\text{M是复宇宙})]
复复宇宙的定义：我们定义一个递归命题 (P(n))，其中 (n) 是自然数，来表示 (n) 阶复宇宙的存在性。基础情况 (n=1)：(P(1)) 表示存在一个复宇宙，这已由上述基础命题给出。递归情况 (n+1)：若 (P(n)) 成立，即存在 (n) 阶复宇宙 (M_n)，则 (P(n+1)) 表示存在一个复宇宙 (N_{n+1})，以及 (N_{n+1}) 中的一个 ZFC 模型 (N)，使得在 (N_{n+1}) 看来，(M_n) 是一个由可数的非良基的 ZFC 模型组成的复宇宙，即：[P(n+1) \equiv \forall M_n (\text{若 } M_n \text{ 是 } n \text{ 阶复宇宙}) \exists N_{n+1} \exists N (\text{N}{n+1} \text{ 是复宇宙}\land N \in N{n+1} \land N \text{ 是 ZFC 模型} \land N \models M_n \text{ 是由可数的非良基的 ZFC 模型组成的复宇宙})]
无限复宇宙：通过递归定义，我们可以构建一个无限层级的复宇宙，其中每个复宇宙都不是特别的，且总存在一个更“发达”的复宇宙。这种无限层级的存在性可以通过对所有自然数(n) 的递归命题 (P(n)) 的合取来表示。即（假设我们有一个表示“对所有自然数 (n)”的量词(\forall^\infty n)，这在实际数学中不是标准符号，但用于此处的概念性说明）：[\forall^\infty n P(n)]，以此便是复复复宇宙，复复复复宇宙，…………

数学盒子（五）
V-logic（逻辑多元）：
V-逻辑：V-逻辑被定义为一种特殊的逻辑系统，它包含了一阶逻辑的基础推理规则，并新增了两条特定的规则来处理与宇宙V及其元素相关的命题。这些新增规则使得我们能够在V-逻辑中间接地探讨V的外部模型或不属于V的集合，尽管作为宽度完成主义者，我们原本不能直接谈论这些概念。
常元符号：在V-逻辑中，引入了几个关键的常元符号：
(\overline{a})：代表V中的任意集合a。
(\overline{V})：代表宇宙V的全体集合容器。
(\overline{W})：代表V的某个“外模型”（在V-逻辑中作为一种间接的表达方式）。
新公理：宇宙V是ZFC（或至少是KP，即克里普克-普拉特克集合论，一种较弱的集合论系统）的一个模型。(\overline{W})是ZFC的一个传递模型，它包含(\overline{V})作为子集，并且与V共享相同的序数。
IMH（内模型假设）的V-逻辑转写：利用V-逻辑能成功地将IMH（一个关于集合论宇宙的内模型的重要假设）转写为一种新的形式。这一转写形式表明，如果某个一阶句子P与上述理论（包括“(\overline{W})满足P”的公理）在V-逻辑中是一致的，那么P必然在V的某个内模型中成立。
逻辑多元的概念：通过结合V-逻辑、ZFC的模型以及可数模型上的宽度完成主义与激进潜在主义的等效性，提出了“逻辑多元”的概念。逻辑多元可以被视为一个更为广泛、包含各种外部的数学框架，它允许我们在不直接“增厚”V（即不直接引入V的外部模型）的情况下，探讨V及其外部模型之间的逻辑关系。

物理盒子（一）
初子：是宇宙中最基本的构成元素，初子没有空间延展性，其体积严格为零，这使得它成为构成物质的最小单元。初子不具有内在的质量、电荷、自旋等属性。初子可以处于不同的运动状态，包括振动、平移等。这些运动状态决定了初子如何组合成更复杂的微观量子和宏观物质。初子是宇宙中最基本的构成元素，无法再被分割成更小的单元。一切不同的微观量子（如电子、质子、中子、弦、量子泡沫等）都是由初子的不同运动状态构成的。初子的不同振动模式、平移方向等运动状态，决定了它们组合成的微观量子的性质和行为。时空本身也是由初子的某种特定运动状态构成。初子的振动和旋转产生了我们观察到的时空结构，而时空的弯曲和变化则是由初子运动状态的改变引起。
量子泡沫：量子力学中的不确定性原理指出，在微观世界中，我们无法同时准确地知道一个粒子的位置和速度。这种不确定性源于量子涨落，即粒子在空间中的位置和速度会随机波动。在量子泡沫的尺度上，这种不确定性变得尤为显著，导致时空本身也呈现出泡沫化的特征。根据量子场论，即使在看似真空的空间中，也充满了暂时出现然后迅速消失的粒子，这些粒子被称为虚粒子。在量子泡沫中，虚粒子的产生与湮灭过程极为频繁，它们在极短的时间内突然出现，然后又消失，好像是从“无中生有”，再变为“无”。这种持续的生成和湮灭过程在每一点的空间中都在发生，形成了一个泡沫状的结构。量子泡沫中的虚粒子对涌现与消失会产生一种微小的“负压力”，这种负压力可能与暗能量产生的推力有所关联，从而成为宇宙加速膨胀的一个关键因素。
弦：存在于极小尺度下（普朗克尺度，即10^-35米左右）的一维、连续且可振动的物理实体，是构成宇宙万物的基本单元，包括各种基本粒子，不同的基本粒子实际上是由同一种弦以不同的振动模式和频率产生的。这些振动模式和频率决定了粒子的质量和电荷等性质。例如，电子和正电子（即电子的反粒子）可能就是由同一种弦以不同的振动方式产生的。在传统的三维空间和一维时间的观念之外，弦理论引入了额外的空间维度（通常认为有六个或更多），这些维度在宏观尺度下是不可见的，但在极小尺度下却对弦的运动和振动模式产生重要影响。
62种基本粒子：夸克是参与强相互作用的基本粒子，它们被“禁锢”在强子内，无法单独分离出来。夸克有六种类型，分别是顶夸克、上夸克、下夸克、奇异夸克、粲夸克和底夸克，这六种夸克被称为“味”。此外，每种夸克还有三种“色”（红、绿、蓝），这是量子力学中的一个概念，用于描述夸克之间的相互作用。再加上它们的反粒子，夸克总共有36种。夸克是费米子的一种，自旋为1/2。它们通过强相互作用力（由胶子传递）结合在一起，形成质子、中子等强子。质子和中子进一步结合，构成原子核，进而与电子结合形成原子。
轻子只参与弱相互作用、电磁相互作用和引力相互作用，而不参与强相互作用。轻子有六种类型，分别是电子、μ子、τ子以及它们对应的三种中微子（电子中微子、μ子中微子、τ子中微子）。再加上它们的反粒子，轻子总共有12种。轻子也是费米子的一种，但它们的自旋也为1/2。与夸克不同，轻子不参与强相互作用，因此它们不会形成像质子和中子那样的复合粒子。电子是最常见的轻子之一，它围绕原子核运动，形成原子的一部分。
传播子（也称为规范玻色子）是传递基本相互作用的媒介粒子。它们不参与构成物质，而是负责在粒子之间传递力。传播子共有14种，包括：
光子：传递电磁相互作用力，自旋为1。光子是无质量的，以光速在真空中传播。
胶子：传递强相互作用力，自旋为1。胶子有8种类型，它们负责将夸克结合在一起形成强子。
W及Z玻色子：传递弱相互作用力，自旋为1。W玻色子有两种类型（W+和W-），Z玻色子只有一种。它们负责在轻子之间以及轻子与夸克之间传递弱相互作用力。
引力子：假想的传递引力相互作用的媒介粒子，自旋为2。尽管引力子的存在尚未得到实验证实，但它是广义相对论中引力场的量子化描述。
希格斯玻色子：通过希格斯机制赋予其他粒子质量，自旋为0。希格斯玻色子的发现是粒子物理学的一个重要里程碑，它证实了希格斯机制的正确性。
这些传播子都是玻色子的一种，它们的自旋为整数（0、1或2）。玻色子与费米子不同，它们不遵守泡利不相容原理，因此可以占据相同的量子态。
原子：是构成物质的最小单位，它保持了化学元素的所有特性。原子由位于中心的原子核和围绕原子核运动的电子组成。原子核由质子和中子组成（在氢原子中，原子核只有一个质子，没有中子）。质子带正电荷，中子不带电荷，电子带负电荷。质子和电子的数量决定了原子的种类和性质。质子数决定了元素的种类（即原子序数），而质子数和中子数的总和决定了原子的同位素。原子是电中性的，因为质子带的正电荷与电子带的负电荷相等。原子具有稳定的结构和固定的质量。原子之间可以通过化学键相互连接，形成分子或晶体。

物理盒子（一续）
分子：分子中的原子通过共享电子、转移电子或形成离子键等方式相互连接。分子的形状和大小取决于其组成的原子种类和连接方式。分子的结构可以通过光谱学、X射线衍射等技术进行测定。分子具有物理和化学性质，如熔点、沸点、溶解度、反应活性等。分子的性质取决于其组成的原子种类、数量以及原子之间的连接方式。分子可以参与化学反应，通过断裂和形成化学键来改变其结构和性质。
宏观物质/能量/超凡元素：由足够数量的粒子构成的宏观意义下的实体，其中超凡元素包括玄幻，修仙，修真，符文，言灵，魔法，洪荒，科技，奇幻，都市，异能，诡异，武道，梦境，虚拟，神话，末日，恐怖，游戏，骑士，异兽，科幻，武魂，血脉，法则，精神，元素，魔咒，信仰，朋克，幻影，忍者，镜像，基因，修士，古武，天道，异常，混沌，心灵，机械，影域，音波，时光，虚空，灵纹，架空等世界的原始能量。