首先，f是增函数。当x是有理数，比如=r_m时，当t＜r_m时，f(t)的和中没有C_m，当t＞r_m时，f(t)的和中有C_m，所以f(r_m+0)≥f(r_m-0)+C_m(其实是=)。当x是无理数时。任给ε＞0，存在k，使得∑_{n＞k} C_n＜ε。记δ=min{|x-r_1|，...，|x-r_k|}＞0，则在(x-δ，x+δ)中没有n≤k的r_n，所以当x-δ＜t＜x＜s＜x+δ)时，f(s)-f(t)的和中的C_n的n也是＞k的，所以f(s)-f(t)＜∑_{n＞k} C_n＜ε。这表明f(x+0)-f(x-0)＜ε。所以f在x连续。
