1，必要性应该是书上的结论了。今证充分性。设E存在等测核F。设G是E的等测包(不管E是否可测，它都存在等测包。这是书上的结论了)。则m(F)=m*(E)=m(G)＜+∞，F⊆E⊆G。m(G\F)=m(G)-m(F)=0。因为G\E⊆G\F，所以m*(G\E)≤m(G\F)=0。所以G\E是零测集，可测集。所以E=G\(G\E)可测。
2，因为A可测，所以m*(E)=m*(E∩A)+m*(E∩A^c)，m(G)=m(G∩A)+m(G∩A^c)。因为m(G)=m*(E)，所以m*(E∩A)+m*(E∩A^c)=m(G∩A)+m(G∩A^c)。又因为m*(E∩A)≤m(G∩A)，m*(E∩A^c)≤m(G∩A^c)，所以m*(E∩A)=m(G∩A)，m*(E∩A^c)=m(G∩A^c)。
2，因为A可测，所以m*(E)=m*(E∩A)+m*(E∩A^c)，m(G)=m(G∩A)+m(G∩A^c)。因为m(G)=m*(E)，所以m*(E∩A)+m*(E∩A^c)=m(G∩A)+m(G∩A^c)。又因为m*(E∩A)≤m(G∩A)，m*(E∩A^c)≤m(G∩A^c)，所以m*(E∩A)=m(G∩A)，m*(E∩A^c)=m(G∩A^c)。
