分享一个很有意思的题:对于∀p>0，已知在抛物线y²=2px的任意一点处总能做出至少一个内接抛物线的正三角形ABC，求这个正三角形顶点A(任意一个)处切线斜率与其对边斜率的比值范围。
一开始我想的是常规处理，设出对边直线的方程，用①顶点与对边中点连线的斜率与对边斜率之积为-1②顶点到对边的长度恰为弦长的√3/2，两个条件来确定这样的正三角形，结果计算量不仅起飞而且还难以消元(当然也可能是我计算力不足
)
看了答案以后真的大开眼界。答案的思路是用全等的SAS来确定正三角形，设AB和AC的直线为
y-y(A)=k(i)(x-x(A))，i=1,2，联立得yA和yB、yC的关系，然后再用60°得到k1，k2的关系，用弦长公式有
(1+k₁²)*(y(A)-y(B))²=(1+k₂²)*(y(A)-y(C))²，代入y(B，C)，然后莫名其妙整个式子就可以配成平方，再分别表示题干的两个斜率并除一下，问题就只剩k1一个变元了。答案是(-1，0)∪(0，1/7)，有兴趣可以做一下。
这个思路和传统思想完全不一样，而且很需要经验和想法，完全打破了我对圆锥曲线只要算就完事的的刻板印象。
说了这么多，我就想知道这是不是哪年的高联题被拿来霍霍高中生了，求个题源。
要是有佬可以按我原先思路写出来也求个过程
，有时间把解答写在楼下。
一开始我想的是常规处理，设出对边直线的方程，用①顶点与对边中点连线的斜率与对边斜率之积为-1②顶点到对边的长度恰为弦长的√3/2，两个条件来确定这样的正三角形，结果计算量不仅起飞而且还难以消元(当然也可能是我计算力不足
)看了答案以后真的大开眼界。答案的思路是用全等的SAS来确定正三角形，设AB和AC的直线为
y-y(A)=k(i)(x-x(A))，i=1,2，联立得yA和yB、yC的关系，然后再用60°得到k1，k2的关系，用弦长公式有
(1+k₁²)*(y(A)-y(B))²=(1+k₂²)*(y(A)-y(C))²，代入y(B，C)，然后莫名其妙整个式子就可以配成平方，再分别表示题干的两个斜率并除一下，问题就只剩k1一个变元了。答案是(-1，0)∪(0，1/7)，有兴趣可以做一下。
这个思路和传统思想完全不一样，而且很需要经验和想法，完全打破了我对圆锥曲线只要算就完事的的刻板印象。
说了这么多，我就想知道这是不是哪年的高联题被拿来霍霍高中生了，求个题源。
要是有佬可以按我原先思路写出来也求个过程
，有时间把解答写在楼下。
