分享一个很有意思的题:对于∀p>0,已知在抛物线y²=2px的任意一点处总能做出至少一个内接抛物线的正三角形ABC,求这个正三角形顶点A(任意一个)处切线斜率与其对边斜率的比值范围。
一开始我想的是常规处理,设出对边直线的方程,用①顶点与对边中点连线的斜率与对边斜率之积为-1②顶点到对边的长度恰为弦长的√3/2,两个条件来确定这样的正三角形,结果计算量不仅起飞而且还难以消元(当然也可能是我计算力不足
)
看了答案以后真的大开眼界。答案的思路是用全等的SAS来确定正三角形,设AB和AC的直线为
y-y(A)=k(i)(x-x(A)),i=1,2,联立得yA和yB、yC的关系,然后再用60°得到k1,k2的关系,用弦长公式有
(1+k₁²)*(y(A)-y(B))²=(1+k₂²)*(y(A)-y(C))²,代入y(B,C),然后莫名其妙整个式子就可以配成平方,再分别表示题干的两个斜率并除一下,问题就只剩k1一个变元了。答案是(-1,0)∪(0,1/7),有兴趣可以做一下。![](https://gsp0.baidu.com/5aAHeD3nKhI2p27j8IqW0jdnxx1xbK/tb/editor/images/client/image_emoticon24.png)
这个思路和传统思想完全不一样,而且很需要经验和想法,完全打破了我对圆锥曲线只要算就完事的的刻板印象。![](https://gsp0.baidu.com/5aAHeD3nKhI2p27j8IqW0jdnxx1xbK/tb/editor/images/client/image_emoticon21.png)
说了这么多,我就想知道这是不是哪年的高联题被拿来霍霍高中生了,求个题源。![](https://gsp0.baidu.com/5aAHeD3nKhI2p27j8IqW0jdnxx1xbK/tb/editor/images/client/image_emoticon6.png)
要是有佬可以按我原先思路写出来也求个过程
,有时间把解答写在楼下。
一开始我想的是常规处理,设出对边直线的方程,用①顶点与对边中点连线的斜率与对边斜率之积为-1②顶点到对边的长度恰为弦长的√3/2,两个条件来确定这样的正三角形,结果计算量不仅起飞而且还难以消元(当然也可能是我计算力不足
![](https://gsp0.baidu.com/5aAHeD3nKhI2p27j8IqW0jdnxx1xbK/tb/editor/images/client/image_emoticon16.png)
看了答案以后真的大开眼界。答案的思路是用全等的SAS来确定正三角形,设AB和AC的直线为
y-y(A)=k(i)(x-x(A)),i=1,2,联立得yA和yB、yC的关系,然后再用60°得到k1,k2的关系,用弦长公式有
(1+k₁²)*(y(A)-y(B))²=(1+k₂²)*(y(A)-y(C))²,代入y(B,C),然后莫名其妙整个式子就可以配成平方,再分别表示题干的两个斜率并除一下,问题就只剩k1一个变元了。答案是(-1,0)∪(0,1/7),有兴趣可以做一下。
![](https://gsp0.baidu.com/5aAHeD3nKhI2p27j8IqW0jdnxx1xbK/tb/editor/images/client/image_emoticon24.png)
这个思路和传统思想完全不一样,而且很需要经验和想法,完全打破了我对圆锥曲线只要算就完事的的刻板印象。
![](https://gsp0.baidu.com/5aAHeD3nKhI2p27j8IqW0jdnxx1xbK/tb/editor/images/client/image_emoticon21.png)
说了这么多,我就想知道这是不是哪年的高联题被拿来霍霍高中生了,求个题源。
![](https://gsp0.baidu.com/5aAHeD3nKhI2p27j8IqW0jdnxx1xbK/tb/editor/images/client/image_emoticon6.png)
要是有佬可以按我原先思路写出来也求个过程
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