在数学中，特别是在微分几何领域，确实存在一种障碍，使得我们不能简单地定义一个在所有流形上都可微的距离函数。这是因为距离函数通常具有非局部的性质，它依赖于两点之间的全局路径信息，而不仅仅是这两点自身的局部信息。
具体来说，考虑一个流形上的点p和q，它们之间的最短路径（即测地线）可能并非处处光滑，尤其是在存在奇点或不规则形状的地方。例如，在有洞的流形或者某些奇异空间中，从一点到另一点的距离可能需要通过某种不连续的方式计算得到。
此外，距离函数通常是非线性的，并且在其定义域中可能不满足可微性所需的连续性和局部线性近似条件。例如，在二维平面上，从原点到单位圆周上的任意一点的距离函数（即半径）在边界（单位圆上）处不可微。
最后，即使在非常规整的空间如欧氏空间中，距离函数也不是可微的，因为它在原点处的梯度是无穷大，而在其它任何一点的梯度都是不存在的，因为距离函数关于除了自身以外的所有坐标轴都不变。
因此，尽管我们可以为特定类型的流形定义出可微的距离函数（比如在平坦空间中），但在一般情况下这是不可能的。
具体来说，考虑一个流形上的点p和q，它们之间的最短路径（即测地线）可能并非处处光滑，尤其是在存在奇点或不规则形状的地方。例如，在有洞的流形或者某些奇异空间中，从一点到另一点的距离可能需要通过某种不连续的方式计算得到。
此外，距离函数通常是非线性的，并且在其定义域中可能不满足可微性所需的连续性和局部线性近似条件。例如，在二维平面上，从原点到单位圆周上的任意一点的距离函数（即半径）在边界（单位圆上）处不可微。
最后，即使在非常规整的空间如欧氏空间中，距离函数也不是可微的，因为它在原点处的梯度是无穷大，而在其它任何一点的梯度都是不存在的，因为距离函数关于除了自身以外的所有坐标轴都不变。
因此，尽管我们可以为特定类型的流形定义出可微的距离函数（比如在平坦空间中），但在一般情况下这是不可能的。
