设 $V$ 和 $W$ 是两个 $n$ 维线性空间，${v_1,\cdots,v_n}$ 是 $V$ 的一组基，${w_1,\cdots,w_n}$ 是 $W$ 的一组基，$f:V\times W\rightarrow \mathbb{R}$ 是一个双线性函数。我们要求 $f$ 在这组基下的矩阵。设 $v\in V$ 和 $w\in W$，则$$v=\sum_{i=1}^{n}a_iv_i,\quad w=\sum_{j=1}^{n}b_jw_j.$$由于 $f$ 是一个双线性函数，因此对于任意的 $i,j$，有$$f(v_i,w_j)=f(a_iv_i,b_jw_j)=a_ib_jf(v_i,w_j).$$移项可得$$(1-a_ib_j)f(v_i,w_j)=0.$$当 $i\neq k$ 或 $j\neq\ell$ 时，$f(v_i,w_j)=0$，因此 $a_ib_j=0$。当 $i=k$ 且 $j=\ell$ 时，$f(v_i,w_j)$ 可以任意取值。因此，我们可以得到 $n^2$ 个方程，其中 $n^2-n$ 个方程为 $a_ib_j=0$，$n$ 个方程为 $f(v_i,w_j)$ 可以任意取值。解这个方程组即可得到 $f$ 在这组基下的矩阵。