观察结构 齐次 那么使用a+b+c=1 得到∑(4x+1)/（3x＾2-2x+1)≤21/2 看到分母最小值为2/3 则LHS≤3/2(∑4x +1) 而∑x=1 得证

来个大神，做出来，太烧脑了

你应当有一定思考为什么可以给出齐次化条件 应该注意到 条件是解释中给出的 而不是引用题目条件 如果没有思考这道题对于你将毫无用处 好了 现在我们假定a+b+c=M(M为任意正数) 在原题中将a b c同时缩小1/M 对于证明没有任何影响(齐次性) 所以可以补充条件a+b+c=1且这样对于原题没有任何影响 综上可以得到证明结果 对于其他的齐次不等式也可以采用齐次化条件辅助证明

令a+b+c=1，琴生

归一化处理

。。。你啊
。。
已知，a b c 均大于0，一定有a² ＋b²≥2ab，（a＋b）²≥a² ＋b²
由此推出:
分母 2a² ＋（b＋c）²≤(√2 a ＋（b＋c）)²
……
……
不等式≤8

写成这熊样，难为大家了。凑和看吧

这题有些难度，我承认我一时半会肝不出来目测可以琴生，手边没纸不方便写，如果有大神来了麻烦踹我一脚
但看楼主连齐次化处理都未有耳闻就有点……我可能嘴有点毒，但楼主可能缺乏对不等式更系统的学习，因此……个人认为，暂时不太适合做这个题吧（或者各人学习情况不同，可以当我没说）

抱歉，不用琴生。打了一份，如有纰漏，还望多指教

1、首先这是轮换对称式，意思就是abc之间可以互换不影响结果，如果有极值，一定是a=b=c的时候取到。设极值时候a=b=c=x，代入原式得到16/6 + 6/16 + 16/6 = 8。这里因为分子分母还是齐次的缘故，x被约掉了，所以极值与abc实际大小无关。
2、接下来就是看8是最大值还是最小值。最简单的方法是随便代入个abc不相等的情况，比如a=1，b=1，c=2，算出来结果比8小，所以极值是最大值，所以得证。
简单粗暴，行之有效

由齐次性设a+b+c＝1，切线法

设a+b+c=m,b+c=m-a,其他项类似，带入变为证f(a)+f(b)+f(c)≤8,可以用函数f(x)的凹凸性来证明

一楼回复里有对齐次化求和的根本，令x=a/（a+b+c），y=b/（a+b+c），z=c/（a+b+c），有x+y+z=1，如若求和不为1可以令kx+ky+kz=k（k≠0）所谓齐次化是把替换的x，y，z带入原式且原式形式不变，就像是x，y，z替换了原式a，b，c的位置

哪一年的美国竞赛题