彭色列五边形闭合定理简明证明
东南大学 徐文平
五点确定一个椭圆，五边形是一个特殊的多边形，五边形必定有一个也只有一个外接内切双心椭圆，因此，可以利用五边形是特殊性，进行彭色列五边形闭合定理的证明。
引理6：在椭圆外,任取一条直线作为帕斯卡极线，直线上任意选取五个点，作小椭圆的十条切线，则可以形成的二个对合共椭圆的彭色列闭合五边形，五条对顶连线均通过彭色列极点。
引理6简证：图9中，依据极线极点对偶性，五条对边切点极线交于彭色列极点，依据牛顿四边形可知，二个五边形的五条对顶连线通过彭色列极点。
如图9，因为五点定椭圆，所有的五边形是彭色列五边形，具有唯一的外接内切双心椭圆。绘制其中一个彭色列五边形的外接椭圆，依据完美四边形的调和分割性质，依据三割线定理的调和分割性质，则另外一个五边形的顶点也在相同椭圆上，形成二个对合共椭圆的彭色列闭合五边形。
引理6运用：（快速构造对合彭色列五边形）
1、任意选取五个直线交于椭圆内一点
2、间隔连线椭圆上的十点，形成二个五边形，内部形成十边形
3、则构成二个对合的彭色列五边形和一个彭色列十边形，形成彭色列五边形的三心椭圆。
引理7：彭色列闭合n边形的双心椭圆，在极线上任意取一点，作小椭圆的两条切线，则两条切线交大椭圆四点，这个四点形的二条对角线和切点连线三线交于彭色列极点。
引理7简证：依据配极原理，引理7成立。
这个引理是揭示了彭色列闭合n边形的双心椭圆、彭色列极点和帕斯卡极线的关系，只有彭色列闭合n边形双心椭圆才有三线交于彭色列极点的这个特性，表达了双心椭圆、彭色列极点和帕斯卡极线四个参数可以替代一个彭色列闭合n边形，它就是彭色列n边形闭合定理双心椭圆的本质。
彭色列闭合定理（N=5）证明：
如图9和图10，构造二个对合共椭圆的彭色列五边形，可获得对应的双心椭圆，可得到彭色列极点和帕斯卡极线，双心椭圆具有相同的彭色列极点和帕斯卡极线（采用双心椭圆、彭色列极点和帕斯卡极线等信息隐含替代了对合共椭圆的彭色列五边形的信息）。
依据引理7，，如图11，在帕斯卡极线上，任意选取一点C1，做小椭圆的两条切线，相交于大椭圆上四点A1、A2、B1和B2。依据配极原理，这个四点形的对角线交于彭色列极点。
过四点形的其中一点A2点，作小椭圆的切线，延伸交于大椭圆A3点，延伸A2A线交于帕斯卡极线C2点，过C2点作小椭圆的另外一条切线，交大椭圆于B3和B2’两点，依据完美四边形调和分割性质和三割线定理调和分割性质，B2和B2’重合。
继续彭色列作图切小椭圆和外接大椭圆，形成A系列五点形和B系列五点形，此时，A系列五点形和B系列五点形是具有对合关系，五条对顶连线均通过彭色列极点。
椭圆内二个对合五边形的五条顶连线交于彭色列极点，依据配极原理可知，A5和A1连线与B5和B1连线相交于帕斯卡极线之上，形成C5点。
如图11，椭圆内五条交叉直线交于彭色列极点，依据引理6，则可以构成二个对合共椭圆的彭色列五边形，二个对合彭色列五边形必定有相同的内切椭圆。二个对合五边形的均有四条边与原有小椭圆相切(一共八条边与小椭圆相切)，五点定椭圆，则小椭圆C与C’重合。五边形只有唯一的内切椭圆，因此，A5A1连线和B5和B1连线均与原有小椭圆相切闭合。
假如，在C5点作小椭圆的二条切线，依据引理6，可以构成二个对合共椭圆的五边形，必定十点共椭圆，其中A2、A3、A4和B2、B3、B4六点位置不会发生变化，由于五点定椭圆，则大椭圆K与K’重合。所以A1’、A5’和B1’、B5’必定在原有的大椭圆之上，必定和A1、A5和B1、B5重合，因此 ，A5A1连线和B5和B1连线均与原有小椭圆相切闭合。彭色列闭合定理（N=5）证明完毕。
对合五边形是关键，明天谈彭色列n边形闭合定理 证明
东南大学 徐文平
五点确定一个椭圆，五边形是一个特殊的多边形，五边形必定有一个也只有一个外接内切双心椭圆，因此，可以利用五边形是特殊性，进行彭色列五边形闭合定理的证明。
引理6：在椭圆外,任取一条直线作为帕斯卡极线，直线上任意选取五个点，作小椭圆的十条切线，则可以形成的二个对合共椭圆的彭色列闭合五边形，五条对顶连线均通过彭色列极点。
引理6简证：图9中，依据极线极点对偶性，五条对边切点极线交于彭色列极点，依据牛顿四边形可知，二个五边形的五条对顶连线通过彭色列极点。
如图9，因为五点定椭圆，所有的五边形是彭色列五边形，具有唯一的外接内切双心椭圆。绘制其中一个彭色列五边形的外接椭圆，依据完美四边形的调和分割性质，依据三割线定理的调和分割性质，则另外一个五边形的顶点也在相同椭圆上，形成二个对合共椭圆的彭色列闭合五边形。
引理6运用：（快速构造对合彭色列五边形）
1、任意选取五个直线交于椭圆内一点
2、间隔连线椭圆上的十点，形成二个五边形，内部形成十边形
3、则构成二个对合的彭色列五边形和一个彭色列十边形，形成彭色列五边形的三心椭圆。
引理7：彭色列闭合n边形的双心椭圆，在极线上任意取一点，作小椭圆的两条切线，则两条切线交大椭圆四点，这个四点形的二条对角线和切点连线三线交于彭色列极点。
引理7简证：依据配极原理，引理7成立。
这个引理是揭示了彭色列闭合n边形的双心椭圆、彭色列极点和帕斯卡极线的关系，只有彭色列闭合n边形双心椭圆才有三线交于彭色列极点的这个特性，表达了双心椭圆、彭色列极点和帕斯卡极线四个参数可以替代一个彭色列闭合n边形，它就是彭色列n边形闭合定理双心椭圆的本质。
彭色列闭合定理（N=5）证明：
如图9和图10，构造二个对合共椭圆的彭色列五边形，可获得对应的双心椭圆，可得到彭色列极点和帕斯卡极线，双心椭圆具有相同的彭色列极点和帕斯卡极线（采用双心椭圆、彭色列极点和帕斯卡极线等信息隐含替代了对合共椭圆的彭色列五边形的信息）。
依据引理7，，如图11，在帕斯卡极线上，任意选取一点C1，做小椭圆的两条切线，相交于大椭圆上四点A1、A2、B1和B2。依据配极原理，这个四点形的对角线交于彭色列极点。
过四点形的其中一点A2点，作小椭圆的切线，延伸交于大椭圆A3点，延伸A2A线交于帕斯卡极线C2点，过C2点作小椭圆的另外一条切线，交大椭圆于B3和B2’两点，依据完美四边形调和分割性质和三割线定理调和分割性质，B2和B2’重合。
继续彭色列作图切小椭圆和外接大椭圆，形成A系列五点形和B系列五点形，此时，A系列五点形和B系列五点形是具有对合关系，五条对顶连线均通过彭色列极点。
椭圆内二个对合五边形的五条顶连线交于彭色列极点，依据配极原理可知，A5和A1连线与B5和B1连线相交于帕斯卡极线之上，形成C5点。
如图11，椭圆内五条交叉直线交于彭色列极点，依据引理6，则可以构成二个对合共椭圆的彭色列五边形，二个对合彭色列五边形必定有相同的内切椭圆。二个对合五边形的均有四条边与原有小椭圆相切(一共八条边与小椭圆相切)，五点定椭圆，则小椭圆C与C’重合。五边形只有唯一的内切椭圆，因此，A5A1连线和B5和B1连线均与原有小椭圆相切闭合。
假如，在C5点作小椭圆的二条切线，依据引理6，可以构成二个对合共椭圆的五边形，必定十点共椭圆，其中A2、A3、A4和B2、B3、B4六点位置不会发生变化，由于五点定椭圆，则大椭圆K与K’重合。所以A1’、A5’和B1’、B5’必定在原有的大椭圆之上，必定和A1、A5和B1、B5重合，因此 ，A5A1连线和B5和B1连线均与原有小椭圆相切闭合。彭色列闭合定理（N=5）证明完毕。
对合五边形是关键，明天谈彭色列n边形闭合定理 证明
