我这个洛必达法则的证明对吗？

在验证条件时，不要忘记了中值定理的使用条件为开区间内可导
所以求右极限时要求右邻域可导，求左极限时要求左邻域可导，左右极限同时存在就变成了去心邻域可导(本身这一点既不在左邻域内，也不在右邻域内)

在邻域内可导
f（x）在x=a必连续
故f（a）=0

洛必达法则0：0的定理不止去心邻域可导这一个
你标题写了“我这个证明是要求在a的邻域内可导”
f（x）在x=a当然连续了
如果题设是去心邻域 那么我们假设f（a）=F（a）=0补充连续条件 再用柯西中值定理就好了

因为我们已经确定了这个极限结果是存在的
那么在未知f(x)在x=a处是否连续的情况下 即使补充了连续条件 也并不影响极限为A成立
基于这个点考虑 洛必达是有效的
所以这样证明没有问题 你不需要纠结不连续的情况
洛必达是已知结果求过程的方法 换言之 出题者在出这道题的时候 已经算好了极限为A