1.在满足定理条件的前提下，函数f（x）上必有【一点的切线】与【f（x）在x=a，b处对应的两点（f（a）和f（b）点的连线平行）。
等号后为x=a，b两点的连线斜率，等号前为f（x）上一点的导数的值，也就是f（x）上一点的斜率，两斜率相等，两线平行。这是几何上的理解方式。
　　2.我们把f（x）函数求导，得到f'(x)，众所周知f'(x)函数纪录的其实就是【f（x）函数在每一个瞬间的变化状态】。即，在x=x1这一瞬间f（x）进行了程度为f'(x1)的变化，在x=x2这一瞬间f（x）进行了程度为f'(x1)的变化……。函数由f（a）变化到f（b）的过程，其实就是f'(x)函数在（a，b）区间中纪录的变化状态的依次累加，没错就是对f'(x)函数在（a，b）区间的值进行积分的过程。那么，把这一过程中所有的变化状态的值一起取一个平均，这个平均值的数值一定在f'(x)的某一点上出现过（即f'(ξ)），因为f（x）连续，则其导数也连续。这个平均值乘上变化的区间（a到b）的长度 就等于这个 变化的变化量【f（b）-f（a）】。即所谓的必有一ξ∈(a,b)，使
即，上函数的变化量=内函数变化状态的平均值乘以区间长度。这是代数理解方式。

魏尔斯特拉斯的原作中给出的构造是：
其中0<a<1，b为正的奇数，使得：
这个函数以及它处处连续而又处处不可导的证明首次出现在魏尔斯特拉斯于1872年6月18日在普鲁士科学院出版的一篇论文中。
证明这个函数处处连续并不困难。由于无穷级数的每一个函数项 的绝对值都小于常数 ，而正项级数 是收敛的。由Weierstrass判别法可以知道原级数一致收敛。因此，由于每一个函数项 都是 R 上的连续函数，级数和 f(x) 也是 R 上的连续函数。
下面证明函数处处不可导：对一个给定的点 x∈R，证明的思路是找出趋于 x 的两组不同的数列( ) 和( )，使得
lim inf > lim sup
这与函数可导的定义矛盾，于是证明完毕。
一般人会直觉上认为连续的函数必然是近乎可导的。即使不可导，所谓不可导的点也必然只占整体的一小部分。根据魏尔斯特拉斯在他的论文中所描述，早期的许多数学家，包括高斯，都曾经假定连续函数不可导的部分是有限或可数的。这可能是因为直观上想象一个连续但在不可数个点上不可导的函数是很困难的事。当我们绘制函数的图像时，总会画出较为规则的图形，例如满足利普希茨条件的函数图像。
魏尔斯特拉斯函数可以被视为第一个分形函数，尽管这个名词当时还不存在。将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大，所得到的局部图都和整体图形相似。因此，无论如何放大，函数图像都不会显得更加光滑，也不存在单调的区间。

1、数列中的非项：不是项的数字。如数列2、4、6、8、10,这些是项，而1、3、5、7、9这些是非项。在下文中的非项一般是素数，或是孪生素数。而项则为合数、或非孪生素数。
2、等差数列叠加：如2、4、6、8、10与1、3、5、7、9叠加后的数列为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，实质上是各个数列分别在一个数轴上的投影。
2、等差数列倍增规律：2、4、6、8、10延长一倍后为2、4、6、8、10、12、14、16、18、20,结论：数列延长一倍，项增加一倍，非项1、3、5、7、9也增加一倍为：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。这是本证明的关键部分。
4、1-3型孪生素数：形如11-13、41-43这样的孪生素数，特点是去掉个位后，剩余数字相同。而且可用一个数字表示，如41-43可以用4来表示（也可以说P1-P3这对孪生素数素数可用P来表示）。这样孪生素数便也可以用某种筛法筛选。这是本文的另一个关键部分。
简单思路：素数、孪生素数可由等差数列叠加得到。而素数、孪生素数就是叠加后数列的非项。这样，一个简单的结果是：孪生素数由等差数列叠加后求得，而等差数列具有倍增规律，则孪生素数也具有倍增规律，因此孪生素数无限。
我们将数字按个位划分为1、3、7、9四类，2、5及其倍数不在此文中研究。要想两数相乘积的个位为3只有两种可能，1*3和7*9，除此之外绝无可能。下面是这两种可能的部分结果（括号前数字表示去掉个位后剩余数字）：
第一组： 1、 3与11、21、31、41...相乘结果为3(3)、6(3)、9(3)、12(3)、15(3)等；
2、13与11、21、31、41...相乘结果为14(3)、27(3)、40(3)、53(3)等；
3、23与11、21、31、41...相乘结果为25(3)、48(3)、71(3)、94(3)等；
第二组： 1、 7与9、19、29、39...相乘结果为6(3)、13(3)、20(3)、27(3)等；
2、17与9、19、29、39......相乘结果为15(3)、32(3)、49(3)、66(3)等；
3、27与9、19、29、39......相乘结果为24(3)、51(3)、78(3)、105(3)等；
这些数字每行都是一个等差数列（因个位均为3，可以去掉个位研究），数列分为2组，我们将这6行等差数列叠加到一起形成一个新的个位为3的叠加数列：
3(3)、6(3)、9(3)、12(3)、13（3）、14(3)、15（3）（大于153的未列出）这些是项。
0(3)、1(3)、2(3)、4(3)、5(3)、7(3)、8(3)、10(3)、11(3)（大于153的未列出）这些是非项。
153以内的该数列的项全部为合数，而非项全部是素数，（只列出了153以内的数字，大于153的则需要增加数列及增大计算值，结论是一致的）。
同样也可产生个位为1的叠加数列：2(1)、5(1)、8(1)、9(1)、11(1)、12(1)、14(1)，它由3组等差数列叠加而成。个位为1和个位3的这些叠加数列去掉个位后再叠加（实为5组等差数列叠加），会再产生一个叠加数列:
2(1;3)、3(1;3)、5(1;3)、6(1;3)、9(1;3)、11(1;3)、12(1;3)、13(1;3)、14(1;3)、15(1;3)该叠加数列的项有合数也有素数，无意义，但均不是1-3型孪生素数。而非项1、4、7、10分别加上个位1和3后就是一对1-3型孪生素数:1(1;3)、4(1;3)、7(1;3)、10(1;3)、而且非项是全体1-3型孪生素数的集合。
等差数列有一个没人注意的性质，就是两段相同长度的等差数列具有大致相同的项和非项。也可以说0-N之间有a个项b个非项，则N-2N之间大概也有a个项b个非项。等差数列叠加一起后也是这样（我无法明确证明，但至少将孪生素数问题转变为等差数列问题，而且我曾将几万个等差数列叠加在一起，该叠加数列的增长倍率就是：延长一倍，项大致增加一倍、非项大致增加一倍），前面提到的1-3型孪生素数，也由等差数列叠加产生。这样：
假设P（P已经去掉了个位）是最大1-3型孪生素数，P内有a个1-3型孪生素数，则在P-2P 之间有大致a个1-3型孪生素数，故假设中的最大孪生素数P之后仍有1-3型孪生素数，原假设不成立。
同理，若个位为1、3、7的7组以及个位为1、3、7、9的10组等差数列叠加则三胞胎素数、四胞胎素数猜想可证。

给十七岁女孩的一封信

我靠。这逼我给十分

楼主我已经七级了诶

吓死我了

给你82，剩下的以666陆续发放，