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芝诺悖论与数学模型 作者:陈胜

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芝诺悖论与数学模型
作者:陈胜
芝诺悖论是一系列相似或者本质上相同的悖论,其中最著名当属阿喀琉斯与海龟
赛跑的悖论:阿喀琉斯是希腊神话中的神行太保,但是他永远不可能追上曾经领
先他的海龟。因为当阿喀琉斯到达原先海龟所在位置时,一段时间过去了,在此
期间海龟又跑到一个新的位置,而等阿喀琉斯到达这个新位置时,海龟又跑到下
一个位置。这样经历无穷多次的追逐(到达海龟曾经的位置),阿喀琉斯还是落
后于海龟。这样,看起来阿喀琉斯是永远无法追上海龟了,这与现实是相背的。
上面分析的无法追上还只是一个模糊的陈述,历史上曾有过比较精确的论证:无
穷多次追逐意味着无穷多段时间相加,而无穷多段时间相加则导致无穷大的时间
,也就是永远。论证越清晰越容易验证或证伪,这一论证错误在于认为无穷多段
时间相加必定是无穷大,这一点已经在微积分里面得到很好的解决。
本来指出一个论点需要很清楚的论证过程,但有一些人对这个悖论就很纠结,无
法提出严格的论证以挑明矛盾,但就是有一种绕不过来的感觉:按照这样一种完
全合理的过程执行了无穷多个步骤都追不上,到最后怎么又追上了呢?无法想像
没追上与追上之间的那个步骤。像这种感觉,就属于数学模型障碍,我们理解这
个世界都是建立在一定的理想化的模型的基础上的,其中只要是精确的就是数学
模型,上述追逐的过程(阿喀琉斯不断到达海龟原先的位置,海龟则跑到新的位
置)就是一个数学模型,很精确没有模糊的地方,所以是不会出错的。但是问题
在于,这个模型不能够用于描述运动,或者运动是不能够用这样离散的对象来表
示的;这个模型可以表征运动在一些离散间隔内的现象,但是对于运动整体,这
一模型则无能为力了。这就是为什么一些人一直感到很纠结,无法想像的一个原
因。因为所谓的想像或者理解都是建立在理想化的模型的基础上,一旦现象超出
了模型所能表示的范围,就会出现理解与想像障碍,或者说有一种很纠结的感觉。
运动可以用时间与空间的对应来表示,或者说是用空间对时间的函数x=x(t)来表
示,这才是足以描述上述运动的模型。人一开始只能理解简单的模型,并用以描
述其所生活的现实世界,但随着对世界认识的进一步加深,那些简单的模型便不
够用了。这时需要引用新的足以描述现实世界的模型,尽管更复杂,但是本质上
和那些简单的模型却是一样的。并且,我们要注意我们也不能想当然地将x=x(t)
就当作运动本身了,虽然在目前可验证的范围内,这与运动符合的很好,但在一
些我们所不曾有过经验的地方,我们需要现代物理学为我们作出判断:或许我们
这一模型已经够用,或者,我们还需要提出新的模型。
有一些人在遇到自己的模型与现实世界冲突时,不去反思模型的适用范围,却反
而去否定逻辑,否定正常的论证的可靠性,这是非常愚蠢的。
2009年9月21日


1楼2014-11-04 13:39回复
      庄子智慧与芝诺悖论
      作者:陆克武
      前言:
      近日读了陈胜的《芝诺悖论与数学模型》突然对芝诺悖论有了兴趣,希望能
    找到简明直观的答案,让还在上小学三年级的女儿能够理解思维的乐趣。
      另外,本文只使用小学数学,还请各位读者耐心看下去。
      正文:
      为了说明的完整还得引用题目:
      赛跑的悖论:阿喀琉斯是希腊神话中的神行太保,但是他永远不可能追上曾
    经领先他的海龟。因为当阿喀琉斯到达原先海龟所在位置时,一段时间过去了,
    在此期间海龟又跑到一个新的位置,而等阿喀琉斯到达这个新位置时,海龟又跑
    到下一个位置。这样经历无穷多次的追逐(到达海龟曾经的位置),阿喀琉斯还
    是落后于海龟。这样,看起来阿喀琉斯是永远无法追上海龟了。
      好,下面我们对问题进行简单的数学描述,为了简化,我们认为阿喀琉斯和
    海龟都是匀速奔跑。
      假设海龟领先阿喀琉斯C米,阿喀琉斯的速度为B米/秒,海龟的速度为A米/
    秒。(B>A>0,C>0)
      阿喀琉斯到达原先海龟所在位置所用时间为:t1=C/B,海龟又前进了A×t1;
    再追t2= A×t1/B=AC/BB;依次类推。
      阿喀琉斯追赶所需总时间为:t = t1 + t2 + t3 + …= C/B ( 1 + A/B
    +A^2/B^2 + A^3/B^3 + … ) (公式1)
      到这,其实答案已经有了,这是一道无穷等比数列,但是需要微积分知识,
    暂停。接着往下想。
      中国古代的庄子有一句非常有名的话“一尺之捶,日取其半,万世不竭。”
    意思是一尺之杖今天取其一半,明天取其一半的一半,后天再取其一半的一半的
    一半,如是“日取其半”,总有一半留下,所以“万世不竭”。
      对庄子这句话可以这样理解:留下的部分不断累加直至无穷,但结果肯定等
    于一尺。用数学描述为:1 = ((1 - 1/2) + 1/2×(1–1/2)+ 1/4×(1–
    1/2)= 1/2 + 1/4 + 1/8 + …
      我们再对这句话进行扩展,假设木杖长C/(B-A),每次截取剩余部分的
    (1-A/B) (B>A>0,C>0),(有些假设挺别扭,但为了后面好比较也只好将就
    了)数学表达为:
      C/(B-A) = C/(B-A) ×( (1-A/B)+ A/B×(1-A/B)+ A^2/B^2(1-A/B)… )
      = C/B ( 1 + A/B +A^2/B^2 + A^3/B^3 + … ) (公式2)
      呵呵,公式2和公式1的表达式是相同的,而且两个公式中A,B,C的取值范围
    也一致,即定义域相同,所以两个式子相等。
      经过简单的数学变换我们发现,庄子截取木杖的思维竟是芝诺悖论的逆向思
    维!
      所以结论出来了,只要木杖的长度是有限的,阿喀琉斯追上海龟所需总时间
    也是有限的,结果表达为:
      t = t1 + t2 + t3 + …= C/B ( 1 + A/B +A^2/B^2 + A^3/B^3 + … )=
    C/B ( 1 + A/B +A^2/B^2 + A^3/B^3 + … )= C/(B-A)
      当然,这么解题有一半是从结果倒推的(因为木杖长度是事前计算好的),
    但是我得到的启示是古代中国哲人和希腊哲人(他们两人生活的时间也相差不大,
    约100多年)都对无限的概念进行了大胆的探索,但方向是相反的,庄子是从有
    限到无限,而芝诺是从无限到有限,有意思的是他们在无限处相遇啦。
      注:
      1、A^2表示A的2次幂,A^3表示A的3次幂;
      2、参考陈胜的《芝诺悖论与数学模型》,
    http://xys4.dxiong.com/xys/netters/psi1b/chensheng.txt
      3、参考吴国增对“一尺之捶,日取其半,万世不竭。”的解释
    http://zhidao.baidu.com/question/562976.html


    2楼2014-11-04 14:14
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      两年整了,大吧,你在哪里啊你在哪里!我们深情的呼唤!


      IP属地:江苏3楼2016-11-05 21:44
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