所以我们假设最初的本金不变.
AM社区的银行利息为每天0.5%，换而言之就是一笔钱存进去，不去动它，200天之后将自动翻一番！
那么如果你不时地去清算利息呢？200天后你的AB有多少？
再次，为了简单起见，我们假设清算AB利息的时间间隔是均匀的，总共清算过n次.
n∈N*
咱们假设自己原有的本金为a，
如果这200天只在最后清算一次利息，那么最后本息和f(n)=f(1)=2a
如果这200天清算过n次利息
200天后的本息和显然为：
f(n)=a*(1+1/n)^n，n∈N*
然后，将xn=(1+1/n)^n单独提出来
这玩意是什么？
(lim(n——无穷大))((1+1/n)^n)=e
（n∈N*）
这玩意是自然对数之底的定义！
也就是说，当n趋于正无穷大时，(1+1/n)^n趋向于e
（
还有一种定义是：e=∑(n=0——无穷大)(1/n!)
即e=1/1+1/2!+1/3!+…+1/n!
其中n∈N*
0!=1
n>=1时，
n!=1*2*3*…*n!
）
首先我们需要证明{xn}是一个单调递增数列
由牛顿二项公式展开：
xn=(1+1/n)^n
=1+(n/(1!))*(1/n)+(n*(n-1)/(2!))*(1/n^2)+…(n*(n-1)*(n-2)/(3!))*(1/n^3)+…+(n*(n-1)*(n-2)/(n!))*(1/n^n)
=1+1+(1/(2!))*(1-1/n)+(1/(3!))*(1-1/n)*(1-2/n)+…+(1/(n!))*(1-1/n)*(1-2/n)*…*(1-(n-1)/n)
显然{xn}是一个单调增数列
{xn}是一个单调增数列意味着什么？
意味着你利息清算次数越多，最后得到的本息和就越高！
设yn=∑(k=0——n)(1/k!)=1+1+1/(2!)+1/(3!)+…+1/(1*2*…*n)
<1+1+1/2+1/(2^2)+…+1/(2^(n-1))<3
{yn}是一个单调递增的收敛数列，显然存在极限，这个极限是一个大于2小于3的实数.
又xn<=yn恒成立
{xn}亦为一个单调递增的收敛数列，也存在极限
可以证明，这两个数列的极限是相等的
将xn=(1+1/n)^n的定义域推广至实数集依旧成立
数学中将这个极限称为e
（详细的证明、以及e的其他性质，比方说其是无理数、超越数之类的，可以参阅诸如《高等数学》，《数学分析》一类的书）
e大约等于2.7182818
这意味着什么？
这就意味着，这200天内你再怎么多次清算利息，哪怕是每秒、每毫秒、每微秒清算一次利息，200天后你的钱也不可能是原来的3倍！
当然，事实上只允许每天清算一次利息，24小时不到强行去清算，只能使得这一天没有利息！
如果恰好把握好时间，每次总能保证每天成功清理一次利息的话，200天后利息将会是原来的大约2.7115171倍！
这与e的差距已然不大！
事实上由e=∑(n=0——无穷大)(1/n!)的定义，可以得出{yn}是一个收敛得很快的数列
所以，保证每天清理一次，得到的AB将会接近于原先的e倍
怪不得勤清算利息，资金会增长这么快！
后来我还发现，著名科普作家雅·别莱利曼也研究过这个问题.（详见《趣味代数学》）
看来这样的问题确实算得上初等数学中著名的问题了……
从银行存款可以牵扯到e，那么，既然谈到e，我就顺便说几道有关e的趣题.
一道题非常简单：
求证：
(1+1/n)^n<e，n∈N*
这题可不需要用高等数学知识哦，直接初等数学搞定！
先证明引论：
x>0时，ln(x+1)<x
可构造函数
f(x)=x-ln(x+1)
f(0)=0
f'(x)=1-1/(x+1)
显然x>0时，f'(x)>0
故x>0时，f(x)=x-ln(x+1)>0
ln(x+1)<x恒成立
代入x=1/n
有ln(1+1/n)<1/n
n*ln(1+1/n)<1
ln((1+1/n)^n)<1
则(1+1/n)^n<e，n∈N*
命题得证
第二道题，是著名的蠕虫与橡皮绳的问题：
一条蠕虫在橡皮绳的一端.橡皮绳长一公里.
蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行.在1秒钟之后，橡皮绳就像橡皮筋一样拉长为2公里.再过一秒钟后，它又拉长为3公里，如此下去.（这种拉伸是均匀的，橡皮绳每一部分都同等地被拉伸）蠕虫最后究竟会不会达到终点呢？
这题还请诸位道友们自己思考.
第三道题，也是一道关于e的题目：
已知一个正实数a，将其分成n份，要求使得分得的数连乘之积最大，该如何分？
由基本不等式，均分时连乘之积最大
设f(n)=(a/n)^n，n∈N*
将其推广到实数集
y=f(x)=(a/x)^x=(a^x)/(x^x)
ln(y)=x*ln(a/x)=x*ln(a)-x*ln(x)
y'/y=ln(a)-ln(x)-1
y'=y*(ln(a)-ln(x)-1)=((a^x)/(x^x))*(ln(a)-ln(x)-1)
显然，当x=a/e时，y'=0
此时y=f(x)取最大值
故只要将其所分份数接近于a/e，每份接近于e时，连乘积取最大值

回复：3楼
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